【图论专题】无向图的双连通分量

A、AcWing 395. 冗余路径

结论：变成边双连通分量所需要新建的边数

无向图
连多少条边使得整个无向图变成任意两个点之间都有两条完全不相同的路径。

结论1：任意两个点之间都有两条完全不相同的路径 =>=>=> 没有割边 =>=>=> 边双连通图
结论2：需要新建的边数：cnt+12\frac{cnt + 1}{2}2cnt+1 (下取整)（其中cnt为将所有的边双连通图缩点以后有割桥形成树的叶子节点，也就是度数为1的结点数）

首先我们可以对图进行边连通分量缩点，缩点后图就会变成一颗树，代表任意2点之间的路径是唯一的。这时候题目转化为添加最少的边使树上任意
2点的路径至少有2条。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>using namespace std;const int N = 5007, M = 50007, INF = 0x3f3f3f3f;int n, m;
int dfn[N], low[N], num;
int head[N], nex[M], ver[M], tot;
int ans;
int stk[N], top;
bool bridge[M];
int d[M];
int dcc_cnt,dcc_id[M];void add(int x, int y){ver[tot] = y;nex[tot] = head[x];head[x] = tot ++ ;
}void tarjan(int x, int in_edge){dfn[x] = low[x] = ++ num;stk[++ top] = x;for(int i = head[x];~i; i = nex[i]){int y = ver[i];if(!dfn[y]){tarjan(y,i);low[x] = min(low[x], low[y]);if(dfn[x] < low[y])//x是y的父节点y无法在不经过(x,y)的前提下到达x或者到达比x更早访问的结点,存在割桥bridge[i] = bridge[i ^ 1] = true;}else if(i != (in_edge ^ 1))low[x] = min(low[x], dfn[y]);}if(dfn[x] == low[x]){int y ;++ dcc_cnt;do{y = stk[top -- ];dcc_id[y] = dcc_cnt;}while(x != y);}
}int main(){memset(head,-1,sizeof head);scanf("%d%d",&n, &m);for(int i = 1;i <= m;++i){int x,y;scanf("%d%d",&x, &y);add(x,y), add(y, x);}//因为都连通所以只需要跑一次即可tarjan(1, -1);for(int i = 0;i < tot; i += 2)if(bridge[i]){int x = ver[i], y = ver[i ^ 1];d[dcc_id[x]] ++ ;d[dcc_id[y]] ++ ;}int cnt = 0;for(int i = 1;i <= dcc_cnt;++i)if(d[i] == 1)cnt ++;printf("%d\n", (cnt + 1) / 2);return 0;
}

B、AcWing 1183. 电力（割点应用）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>using namespace std;
const int N = 50007, M = 500007, INF = 0x3f3f3f3f;int n, m;
int dfn[N], low[N], num;
int ver[M], nex[M], edge[M], head[N], tot;
int ans;void add(int x,int y){ver[tot] = y;nex[tot] = head[x];head[x] = tot ++ ;
}void tarjan(int x, int rt){//计算该割点连接了多少个连通块dfn[x] = low[x] = ++ num;int cnt = 0;//(割开这个点会将图分成cnt个连通块)for(int i = head[x]; ~i;i = nex[i]){int y = ver[i];if(!dfn[y]){tarjan(y, rt);low[x] = min(low[x], low[y]);if(dfn[x] <= low[y]){//该割点返回了一条独立的路cnt ++ ;}}else low[x] = min(low[x], dfn[y]);}if(x != rt)cnt ++ ;//如果不是根的话说明该点的上面应该可以割出来一个连通块ans = max(ans,cnt);
}int main(){while(~scanf("%d%d",&n,&m) && n || m){memset(head, -1, sizeof head);memset(dfn, 0, sizeof dfn);tot = num = 0;for(int i = 1;i <= m;++i){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);add(x,y);add(y,x);}ans = 0;int cnt = 0;for(int i = 0;i < n;++ i){//数据从0到n - 1if(!dfn[i]){cnt ++ ;//可能有孤立点(孤立连通块)tarjan(i, i);}}printf("%d\n", ans + cnt - 1);//减去多算的这个点(ans是由这个点割开之后能分散开的连通块个数)}
}

C、AcWing 396. 矿场搭建

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