ts_log_moving_avg_diff.dropna(inplace=True)

test_stationarity(ts_log_moving_avg_diff)

这看起来像一个更好的系列。滚动值似乎略有不同，但没有具体趋势。此外，测试统计量小于5％的临界值，因此我们可以95％的置信度说这是一个固定的序列。

然而，这种特定方法的缺点是必须严格定义时间段。在这种情况下，我们可以采取年平均值，但在复杂的情况下，如预测股票价格，很难得出一个数字。因此，我们采用“加权移动平均线”，其中更近期的值被赋予更高的权重。可以有许多分配权重的技术。一种流行的是指数加权移动平均值，其中权重被分配给具有衰减因子的所有先前值。在此查找详情。这可以在Pandas中实现：

#expwighted_avg = pd.ewma(ts_log, halflife=12)

expwighted_avg = ts_log.ewm(halflife=12, min_periods=0,adjust=True,ignore_na=False).mean()

plt.plot(ts_log)

plt.plot(expwighted_avg, color='red')

注意，这里参数'halflife'用于定义指数衰减量。

ts_log_ewma_diff = ts_log -expwighted_avg

test_stationarity(ts_log_ewma_diff)

该TS的平均值和标准偏差的幅度变化甚至更小。此外，检验统计量小于1％临界值，这比前一种情况更好。

消除趋势和季节性

之前讨论的简单趋势减少技术在所有情况下都不起作用，尤其是具有高季节性的技术。让我们讨论两种消除趋势和季节性的方法：

差异 - 将差异与特定时滞相区分

分解 - 对趋势和季节性进行建模并将其从模型中移除。

差分

在这种技术中，我们将特定时刻的观察值与前一时刻的观察值进行区分。这主要用于改善平稳性。一阶差分可以在Pandas中完成：

ts_log_diff = ts_log -ts_log.shift()

plt.plot(ts_log_diff)

ts_log_diff.dropna(inplace=True)

test_stationarity(ts_log_diff)

我们可以看到均值和标准变量随时间变化很小。此外，Dickey-Fuller检验统计量小于10％临界值，因此TS静止且置信度为90％。

分解

在这种方法中，趋势和季节性都是单独建模的，并返回系列的其余部分。我将跳过统计数据并得出结果：

from statsmodels.tsa.seasonal importseasonal_decompose

decomposition=seasonal_decompose(ts_log)

trend=decomposition.trend

seasonal=decomposition.seasonal

residual=decomposition.resid

plt.subplot(411)

plt.plot(ts_log, label='Original')

plt.legend(loc='best')

plt.subplot(412)

plt.plot(trend, label='Trend')

plt.legend(loc='best')

plt.subplot(413)

plt.plot(seasonal,label='Seasonality')

plt.legend(loc='best')

plt.subplot(414)

plt.plot(residual, label='Residuals')

plt.legend(loc='best')

plt.tight_layout()

在这里我们可以看到趋势，季节性与数据分离，我们可以对残差进行建模。让我们检查残差的平稳性。

ts_log_decompose =residual

ts_log_decompose.dropna(inplace=True)

test_stationarity(ts_log_decompose)

Dickey-Fuller检验统计量显着低于1％临界值。所以这个TS非常接近静止。您也可以尝试高级分解技术，这可以产生更好的结果。此外，您应该注意，在这种情况下，将残差转换为未来数据的原始值并不是非常直观。

5.预测时间序列

我们看到了不同的技术，所有这些技术都使得TS固定不动。让我们在差分后在TS上制作模型，因为它是一种非常流行的技术。此外，在这种情况下，相对容易将噪声和季节性添加回预测残差。执行趋势和季节性估计技术后，可能存在两种情况：

严格固定的系列，不依赖于数值。这是一个简单的情况，我们可以将残差建模为白噪声。但这种情况非常罕见。

一系列重要的价值观依赖。在这种情况下，我们需要使用一些统计模型，如ARIMA来预测数据。

让我简单介绍一下ARIMA。我不会详细介绍技术细节，但如果您希望更有效地应用它们，您应该详细了解这些概念。ARIMA代表自动回归综合移动平均线。 ARIMA对静止时间序列的预测只不过是一个线性(如线性回归)方程。预测变量取决于ARIMA模型的参数(p，d，q)：

AR(自回归)项的数量(p)：AR项只是因变量的滞后。例如，如果p是5，则x(t)的预测值将是x(t-1)... .x(t-5)。

MA(移动平均线)项的数量(q)：MA项是预测方程中的滞后预测误差。例如，如果q为5，则x(t)的预测值将为e(t-1)... .e(t-5)，其中e(i)是第i个瞬时的移动平均值与实际值之间的差值。

差异数量(d)：这些是非季节性差异的数量，即在这种情况下我们采用了第一阶差异。因此，我们可以传递该变量并将d = 0或传递原始变量并放入d = 1。两者都会产生相同的结果。

这里一个重要的问题是如何确定'p'和'q'的值。我们使用两个图来确定这些数字。让我们先讨论一下。

自相关函数(ACF)：它是TS与其自身滞后版本之间相关性的度量。例如，在滞后5处，ACF将在时刻't1'...'t2'的系列与在时刻't1-5'...'t2-5'(t1-5和t2是终点)的系列进行比较。

部分自相关函数(PACF)：它测量TS与其自身的滞后版本之间的相关性，但是在消除了已经通过干预比较解释的变化之后。例如，在滞后5处，它将检查相关性，但是除去已经由滞后1到4解释的效果。

差分后的TS的ACF和PACF图可以绘制为：

#ACF and PACF plots:

from statsmodels.tsa.stattools import acf, pacf

lag_acf = acf(ts_log_diff, nlags=20)

lag_pacf= pacf(ts_log_diff, nlags=20, method='ols')

#Plot ACF:

plt.subplot(121)

plt.plot(lag_acf)

plt.axhline(y=0,linestyle='--',color='gray')

plt.axhline(y=-1.96/np.sqrt(len(ts_log_diff)),linestyle='--',color='gray')

plt.axhline(y=1.96/np.sqrt(len(ts_log_diff)),linestyle='--',color='gray')

plt.title('Autocorrelation Function')

#Plot PACF:

plt.subplot(122)

plt.plot(lag_pacf)

plt.axhline(y=0,linestyle='--',color='gray')

plt.axhline(y=-1.96/np.sqrt(len(ts_log_diff)),linestyle='--',color='gray')

plt.axhline(y=1.96/np.sqrt(len(ts_log_diff)),linestyle='--',color='gray')

plt.title('Partial Autocorrelation Function')

plt.tight_layout()

在这个图中，0两边的两条虚线是置信区间。这些可用于确定'p'和'q'值为：

p - PACF图表首次超过置信区间的滞后值。如果你仔细注意，在这种情况下p = 2。

q - ACF图表第一次超过置信区间的滞后值。如果你仔细注意，在这种情况下q = 2。

现在，让我们考虑个人和组合效果制作3种不同的ARIMA模型。我还将为每个打印RSS。请注意，这里的RSS是残差值，而不是实际序列。

ARModel

from statsmodels.tsa.arima_model importARIMA

model= ARIMA(ts_log, order=(2, 1, 0))

results_AR= model.fit(disp=-1)

plt.plot(ts_log_diff)

plt.plot(results_AR.fittedvalues, color='red')

plt.title('RSS: %.4f'% sum((results_AR.fittedvalues-ts_log_diff)**2))

MRModel

model = ARIMA(ts_log, order=(0, 1, 2))

results_MA= model.fit(disp=-1)

plt.plot(ts_log_diff)

plt.plot(results_MA.fittedvalues, color='red')

plt.title('RSS: %.4f'% sum((results_MA.fittedvalues-ts_log_diff)**2))

Combined Model

model = ARIMA(ts_log, order=(2, 1, 2))

results_ARIMA= model.fit(disp=-1)

plt.plot(ts_log_diff)

plt.plot(results_ARIMA.fittedvalues, color='red')

plt.title('RSS: %.4f'% sum((results_ARIMA.fittedvalues-ts_log_diff)**2))

在这里我们可以看到AR和MA模型具有几乎相同的RSS，但组合明显更好。现在，我们留下最后一步，即将这些值恢复到原始比例。

把它恢复到原始规模

由于组合模型给出了最佳结果，因此我们可以将其缩放回原始值并查看其在那里的表现。第一步是将预测结果存储为单独的系列并观察它。

predictions_ARIMA_diff = pd.Series(results_ARIMA.fittedvalues, copy=True)print predictions_ARIMA_diff.head()

请注意，这些是从'1949-02-01'而不是第一个月开始的。为什么？这是因为我们将滞后加1，并且第一个元素在它减去之前没有任何东西。将差分转换为对数比例的方法是将这些差异连续添加到基数.一种简单的方法是首先确定索引处的累积和，然后将其添加到基数。累计金额可以是：

predictions_ARIMA_diff_cumsum =predictions_ARIMA_diff.cumsum()print predictions_ARIMA_diff_cumsum.head()

predictions_ARIMA_log = pd.Series(ts_log.ix[0], index=ts_log.index)

predictions_ARIMA_log= predictions_ARIMA_log.add(predictions_ARIMA_diff_cumsum,fill_value=0)

predictions_ARIMA_log.head()

这里第一个元素是基数本身，并且从那里累加的值。最后一步是取指数并与原始系列进行比较.

predictions_ARIMA =np.exp(predictions_ARIMA_log)

plt.plot(ts)

plt.plot(predictions_ARIMA)

plt.title('RMSE: %.4f'% np.sqrt(sum((predictions_ARIMA-ts)**2)/len(ts)))