网络流之——最小费用最大流

学习最小费用最大流前，需要学习最大流算法。在最大流算法中，没有考虑边的费用问题。在MinCostMaxFlow中，引入了费用的概念：cij表示边(i,j)单位流量的费用。在满足流量=v(f)的同时，并且要求费用最少。

最小费用最大流的迭代算法：

1.求出从s到t的最小费用通路(spfa)和通路的最大流量f。

2.让通路上的边(i,j)流量减去f；添加反向边(j,i)，容量为f，费用为-cost(i,j)。

3.重复1,2，直到从s到t的流量=v(f)或者再也找不到从s到t的最小费用道路为止。

最小费用最大流算法还可以解决二分图最优匹配。

最小费用最大流模板：

Cpp代码

const int size = 1102;
const int INF = 0x7fffffff;
struct Edge
{
int to;
int vol;
int cost;
int next;
}e[size*40];
int index[size];
int edgeNum;
int pre[size], pos[size];
int dis[size], que[size*10];
bool vis[size];
void insert(int from, int to, int vol, int cost)
{
e[edgeNum].to = to;
e[edgeNum].vol = vol;
e[edgeNum].cost = cost;
e[edgeNum].next = index[from];
index[from] = edgeNum++;
e[edgeNum].to = from;
e[edgeNum].vol = 0;
e[edgeNum].cost = -cost;
e[edgeNum].next = index[to];
index[to] = edgeNum++;
}
bool spfa(int s, int t)
{
int i;
memset(pre, -1, sizeof(pre));
memset(vis, 0, sizeof(vis));
int head, tail; head = tail = 0;
for(i = 0; i < size; i++)
dis[i] = INF;
que[tail++] = s;
pre[s] = s;
dis[s] = 0;
vis[s] = 1;
while(head != tail)
{
int now = que[head++];
vis[now] = 0;
for(i = index[now]; i != -1; i = e[i].next)
{
int adj = e[i].to;
if(e[i].vol > 0 && dis[now] + e[i].cost < dis[adj])
{
dis[adj] = dis[now] + e[i].cost;
pre[adj] = now;
pos[adj] = i;
if(!vis[adj])
{
vis[adj] = 1;
que[tail++] = adj;
}
}
}
}
return pre[t] != -1;
}
int MinCostFlow(int s, int t, int flow)
{
int i;
int cost = 0;
flow = 0;
while(spfa(s, t))
{
int f = INF;
for(i = t; i != s; i = pre[i])
if (e[pos[i]].vol < f) f = e[pos[i]].vol;
flow += f; cost += dis[t] * f;
for(i = t; i != s; i = pre[i])
{
e[pos[i]].vol -= f;
e[pos[i] ^ 1].vol += f;
}
}
return cost; // flow是最大流值
}

参见poj2516 2195 2135。

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