四旋翼飞行器旋转矩阵公式推导！

方法一：

1.在二维平面中：如下图所示，在xoy平面中有一向量op⃗ =(x,y)T，旋转ϕ角后变为向量op⃗ ′=(x′,y′)T。
　　

　　据图可得： x=|op⃗ |cosθ；y=|op⃗ |sinθ ，经旋转 ϕ 角后有:
　　 x′=|op⃗ |cos(θ+ϕ)=|op⃗ |(cosθcosϕ−sinθsinϕ)=xcosϕ−ysinϕ
　　 y′=|op⃗ |sin(θ+ϕ)=|op⃗ |(sinθcosϕ+cosθsinϕ)=xsinϕ+ycosϕ；
写成矩阵形式：
　　 (x′y′)=(cosϕsinϕ−sinϕcosϕ)(xy)
　　2.在三维空间中：如下图所示，若以坐标系的三个坐标轴X、Y、Z分别作为旋转轴，则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。

　　例： op⃗ 绕X轴旋转 ϕ 角，有：
旋转前：
旋转后：
写成矩阵形式：
则绕X轴旋ϕ角的旋转矩阵为： Rx(ϕ)=（1000cosϕ−sinϕ0sinϕcosϕ）
同理可得绕X、Y、Z轴旋转的不同角度的旋转矩阵（方向余弦矩阵）分别为：

　　最后，若 op⃗

绕某一定轴旋转，从欧拉定律中可知，绕着固定轴做一个角值的旋转，可以被视为分别以坐标系的三个坐标轴X、Y、Z作为旋转轴的旋转的叠加。

方法二：

一、先来个平面旋转的分析：

两角和(差)公式

推导

旋转变换一般是按照某个圆心点，以一定半径 r 旋转一定的角度α，为了简单起见我们给出下面的情景

假定点A(x,y)想经过旋转变换到达B(x',y')，已知旋转角度α和点A坐标，计算出点B

要计算点B则分别计算他的x'和y'分量

根据矩阵乘法计算规则，可以推出

只要给出旋转角度，计算出矩阵，然后使用这个矩阵分别左乘每一个点，就能计算出这个点旋转后的点坐标这样我们就可以通过矩阵变换坐标了

二、延伸到三维坐标：

坐标的旋转变换在很多地方都会用到，比如机器视觉中的摄像机标定、图像处理中的图像旋转、游戏编程等。

任何维的旋转可以表述为向量与合适尺寸的方阵的乘积。最终一个旋转等价于在另一个不同坐标系下对点位置的重新表述。坐标系旋转角度θ则等同于将目标点围绕坐标原点反方向旋转同样的角度θ。

若以坐标系的三个坐标轴X、Y、Z分别作为旋转轴，则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。

假设三维坐标系中的某一向量 $/vec{OP}=(x,y,z)^{T}$ ，其在直角坐标系中的图如图1所示。其中点P在XY平面、XZ平面、YZ平面的投影分别为点M、点P、点N。

图1 直角坐标系XYZ

1、 $/vec{OP}$ 绕Z轴旋转θ角

绕Z轴旋转，相当于 $/vec{OP}$ 在XY平面的投影OM绕原点旋转，如下图所示，OM旋转θ角到OM'。

图2 向量绕Z轴旋转示意图

设旋转前的坐标为 $(x,y,z)^{T}$ ，旋转后的坐标为 $(x',y',z')^{T}$ ，则点M的坐标为 $(x,y)^{T}$ ，点M'的坐标为 $(x',y')^{T}$ 。由此可得：

对于 $x'$ 和 $y'$ 进行三角展开可得：

且有 $z'=z$ ;可得绕Z轴旋转 $/theta$ 角的旋转矩阵为：

2、 $/vec{OP}$ 绕X轴旋旋转θ角

绕X轴旋转，相当于 $/vec{OP}$ 在YZ平面的投影ON绕原点旋转，如下图所示，ON旋转θ角到ON'。

图3 向量绕X轴旋转示意图

设旋转前的坐标为 $(x,y,z)^{T}$ ，旋转后的坐标为 $(x',y',z')^{T}$ ，则点N的坐标为 $(z,y)^{T}$ ，点N'的坐标为 $(z',y')^{T}$ 。由此可得：

对于 $z'$ 和 $y'$ 进行三角展开可得：

且有 $x'=x$ ;可得绕X轴旋转 $/theta$ 角的旋转矩阵为：

3、 $/vec{OP}$ 绕Y轴旋旋转θ角

绕Y轴旋转，相当于 $/vec{OP}$ 在XZ平面的投影OQ绕原点旋转，如下图所示，OQ旋转θ角到OQ'。

图4 向量绕Y轴旋转示意图

设旋转前的坐标为 $(x,y,z)^{T}$ ，旋转后的坐标为 $(x',y',z')^{T}$ ，则点Q的坐标为 $(x,z)^{T}$ ，点Q'的坐标为 $(x',z')^{T}$ 。由此可得：

对于 $x'$ 和 $z'$ 进行三角展开可得：

且有 $y'=y$ ;可得绕Y轴旋转 $/theta$ 角的旋转矩阵为：

4、绕X、Y、Z轴旋转的旋转矩阵分别为：

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