Codeforces Round #370 (Div. 2)E. Memory and Casinos[期望概率+线段树区间合并]详细推导

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题目大意：就说一个赌徒在nnn个赌场里面转，在每个赌场他有pip_ipi的胜率，如果赢了就向右走，输了就向左走，如果到达000或者n+1n+1n+1号赌场就相当退出的了赌局。定义统治区间[l,r][l,r][l,r],就是在第lll个赌场不能输，并且在某次赌博中在赌场rrr获得胜利结束赌博。
现在有两种操作：1.修改一个赌场的胜率
2.询问统治[l,r][l,r][l,r]的概率是多少

解题思路：设f[i]f[i]f[i]表示从位置i走到r+1并且没有走出区间[l,r]位置i走到r+1并且没有走出区间[l,r]位置i走到r+1并且没有走出区间[l,r]的概率，那么1.f[i]=f[i+1]∗p[i]+f[i−1]∗(1−p[i])1.f[i]=f[i+1]*p[i]+f[i-1]*(1-p[i])1.f[i]=f[i+1]∗p[i]+f[i−1]∗(1−p[i])

2.整理得f[i]−f[i−1]=(f[i+1]−f[i−1])∗p[i]2.整理得f[i]-f[i-1]=(f[i+1]-f[i-1])*p[i]2.整理得f[i]−f[i−1]=(f[i+1]−f[i−1])∗p[i]这里i+1和i−1差值是2，我们想办法将其缩小成1i+1和i-1差值是2，我们想办法将其缩小成1i+1和i−1差值是2，我们想办法将其缩小成1

3.设g[i]=f[i]−f[i−1],那么上面得式子可以化简为g[i]=(g[i+1]−g[i])∗p[i]3.设g[i]=f[i]-f[i-1],那么上面得式子可以化简为g[i]=(g[i+1]-g[i])*p[i]3.设g[i]=f[i]−f[i−1],那么上面得式子可以化简为g[i]=(g[i+1]−g[i])∗p[i]

4.我们分离变量g[i+1]=1−p[i]p[i]∗g[i]4.我们分离变量g[i+1]={1-p[i]\over p[i]}*g[i]4.我们分离变量g[i+1]=p[i]1−p[i]∗g[i]

5.根据定义f[r+1]=1,f[l−1]=0;并且g[i]=f[i]−f[i−1],那么∑i=lr+1g[i]=f[r+1]−f[l−1]=15.根据定义f[r+1]=1,f[l-1]=0;并且g[i]=f[i]-f[i-1],那么\sum_{i=l}^{r+1}g[i]=f[r+1]-f[l-1]=15.根据定义f[r+1]=1,f[l−1]=0;并且g[i]=f[i]−f[i−1],那么∑i=lr+1g[i]=f[r+1]−f[l−1]=1

6.g[l]+g[l+1]....+g[r+1]=g[l]+g[l]∗1−p[l]p[l]+....,我们设u[i]=1−p[i]p[i]那么后面g[l]+g[l]∗u[l]+g[l]∗u[l]∗u[l+1]...+g[l]∗u[l]∗...∗u[r]全部变成g[l]6.g[l]+g[l+1]....+g[r+1]=g[l]+g[l]*{1-p[l]\over p[l]}+....,我们设u[i]={1-p[i]\over p[i]}那么后面g[l]+g[l]*u[l]+g[l]*u[l]*u[l+1]...+g[l]*u[l]*...*u[r]全部变成g[l]6.g[l]+g[l+1]....+g[r+1]=g[l]+g[l]∗p[l]1−p[l]+....,我们设u[i]=p[i]1−p[i]那么后面g[l]+g[l]∗u[l]+g[l]∗u[l]∗u[l+1]...+g[l]∗u[l]∗...∗u[r]全部变成g[l]

7.现在我们相求f[l]从上面可知f[l]−f[l−1]=g[l],f[l−1]=0,那么f[l]=g[l]所以问题就变成了求g[l]7.现在我们相求f[l]从上面可知f[l]-f[l-1]=g[l],f[l-1]=0,那么f[l]=g[l]所以问题就变成了求g[l]7.现在我们相求f[l]从上面可知f[l]−f[l−1]=g[l],f[l−1]=0,那么f[l]=g[l]所以问题就变成了求g[l]

8.那么我们把6式子中得g[l]提出来g[l]∗(1+u[l]+u[l]∗u[l+1]+u[l]∗u[l+1]∗u[l+2]+.....u[l]∗u[l+1]∗....∗u[r])=18.那么我们把6式子中得g[l]提出来g[l]*(1+u[l]+u[l]*u[l+1]+u[l]*u[l+1]*u[l+2]+.....u[l]*u[l+1]*....*u[r])=18.那么我们把6式子中得g[l]提出来g[l]∗(1+u[l]+u[l]∗u[l+1]+u[l]∗u[l+1]∗u[l+2]+.....u[l]∗u[l+1]∗....∗u[r])=1

很明显我们可以用线段树维护区间乘法，如过我们直接维护u[1,r]的乘积然后再除以u[1,l−1]的值，很不幸这道题卡精度不能这样子求很明显我们可以用线段树维护区间乘法，如过我们直接维护u[1,r]的乘积然后再除以u[1,l-1]的值，很不幸这道题卡精度不能这样子求很明显我们可以用线段树维护区间乘法，如过我们直接维护u[1,r]的乘积然后再除以u[1,l−1]的值，很不幸这道题卡精度不能这样子求

我们应该考虑如何合并区间信息：对于每个线段树的节点它维护了一个区间[l,r][l,r][l,r],我们只看1个点的情况val1=u[l],两个点就是val2=u[l]+u[l]∗u[l+1],三个点就是val3=u[l]+u[l]∗u[l+1]+u[l]∗u[l+1]∗u[l+2],假设线段树左儿子是[l,l+1],右儿子是[l+2],那么合并就是val2+u[l]∗u[l+1]∗u[l+2]=val3val1=u[l],两个点就是val2=u[l]+u[l]*u[l+1],三个点就是val3=u[l]+u[l]*u[l+1]+u[l]*u[l+1]*u[l+2],假设线段树左儿子是[l,l+1],右儿子是[l+2],那么合并就是val2+u[l]*u[l+1]*u[l+2]=val3val1=u[l],两个点就是val2=u[l]+u[l]∗u[l+1],三个点就是val3=u[l]+u[l]∗u[l+1]+u[l]∗u[l+1]∗u[l+2],假设线段树左儿子是[l,l+1],右儿子是[l+2],那么合并就是val2+u[l]∗u[l+1]∗u[l+2]=val3

那么我们线段树要维护两个值：val=u[l]+u[l]∗u[l+1].....,sum=u[l]∗u[l+1]....;合并就是valleftson+sumleftson∗valrightson=valfather,sumleftson∗sumrightson=sumfatherval=u[l]+u[l]*u[l+1].....,sum=u[l]*u[l+1]....;合并就是val_{leftson}+sum_{leftson}*val_{rightson}=val_{father},sum_{leftson}*sum_{rightson}=sum_{father}val=u[l]+u[l]∗u[l+1].....,sum=u[l]∗u[l+1]....;合并就是valleftson+sumleftson∗valrightson=valfather,sumleftson∗sumrightson=sumfather

下面看代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <stack>
#include <sstream>
#include <vector>
#include <map>
#include <cstring>
#include <deque>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <set>
#define mid ((l + r) >> 1)
#define Lson rt << 1, l , mid
#define Rson rt << 1|1, mid + 1, r
#define ms(a,al) memset(a,al,sizeof(a))
#define log2(a) log(a)/log(2)
#define _for(i,a,b) for( int i = (a); i < (b); ++i)
#define _rep(i,a,b) for( int i = (a); i <= (b); ++i)
#define for_(i,a,b) for( int i = (a); i >= (b); -- i)
#define rep_(i,a,b) for( int i = (a); i > (b); -- i)
#define lowbit(x) ((-x) & x)
#define Setw(a) fixed<<setprecision(a)
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define hash Hash
#define next Next
#define count Count
#define pb push_back
#define f first
#define s second
using namespace std;
const int N = 1e5+10, mod = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-10;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> PII;
template<typename T> void read(T &x)
{x = 0;char ch = getchar();ll f = 1;while(!isdigit(ch)){if(ch == '-')f*=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x = x*10+ch-48;ch=getchar();}x*=f;
}
template<typename T, typename... Args> void read(T &first, Args& ... args)
{read(first);read(args...);
}
struct node
{double x, w;
}tr[N<<2];
int n, q;
double a[N];
inline void pushup(int rt)
{tr[rt].w = tr[rt << 1].w * tr[rt << 1|1].w;tr[rt].x = tr[rt << 1].x + tr[rt << 1].w * tr[rt << 1|1].x;return;
}inline void build(int rt, int l, int r)
{if(l == r){tr[rt].x = a[l];tr[rt].w = a[l];return;}build(Lson);build(Rson);pushup(rt);
}inline void update(int rt, int l, int r ,int pos, double val)
{if(l == r){tr[rt].w = val;tr[rt].x = val;return;}if(pos <= mid) update(Lson,pos,val);else update(Rson,pos,val);pushup(rt);
}inline node query(int rt, int l, int r, int posl, int posr)
{if(posl <= l && posr >= r) return tr[rt];else {node left = (node){-INF,-INF};node right = (node){-INF,-INF};if(posl <= mid) left = query(Lson,posl,posr);if(posr > mid) right = query(Rson,posl,posr);if(left.w == -INF) return right;else if(right.w == -INF) return left;else {node res;res.w = left.w * right.w;res.x = left.x + left.w * right.x;return res;}}
}int main()
{read(n,q);_rep(i,1,n) {double l, r;cin >> l >> r;a[i] = 1.0 * l / r;a[i] = (1.0 - a[i]) / a[i];}build(1,1,n);while(q--){int op, pos;double l, r;read(op);if(op == 1){cin >> pos >> l >> r;double ans = (1.0 - l/r) / (l/r);update(1,1,n,pos,ans);}else {cin >> l >> r;double ans = query(1,1,n,l,r).x;cout << Setw(10) << 1.0 / (ans + 1.0) << endl;}}return 0;
}

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