机器学习中贝叶斯判决、概率分布、样本等概念间的关系

以下是在看模型识别，机器学习及数理统计时，对贝叶斯决策、概率分布、样本关系的总结，每想到一点就写下来，比较乱，这块需要反复学习、慢慢理解。

1. 机器学习的一些概念：

什么是机器学习？

机器学习包含哪些基本要素？

机器学习，就是由已知数据，训练出一个模型，形成一个假设的空间，在拿到新的数据后，能在假设空间搜索出一个合理的结果。

搜索出合理的结果，只是评价机器学习的效果，模型的好坏。

如何建立模型，才是机器学习算法的核心，包括假设，推理，验证。

如何保证目标概念在假设空间内？

是否有包含所有假设的空间？

如何保证收敛？

假设空间的大小与训练样例数量的关系？

概率、贝叶斯公式与机器学习的关系？

概率论，特别是贝叶斯公式，为机器学习提供了强有力的推导依据。

1. 统计与概率、机器学习是什么关系？

概率论及其分布函数、特性，是理论基础。而统计是应用，利用样本统计量来估计概率模型中的参数，而后更进一步获取更有用的统计数据。

统计是机器学习中统计判决部分的理论基础。或者是说统计分析在机器学习方面的应用。

贝叶斯学习

两个前提条件：

1）类别，一般是已知类别的个数，各个类别的需要概率的初始知识，即先验概率P(h)。

2）特征数据在各个类别中的概率分布，即先验条件分布P(x|h)。

待解决的问题：

已知采集的数据：

训练数据D：包含特征数据和类别

求：

假设的分类面，或者一个采集到数据的分类。

其中，问题又可分为类别的先验概率P(h)已知，和未知两种情况。

1)P(h)已知的情况。求解，相对简单，普通的贝叶斯公式。

2)P(h)未知，但一种类别的错误率已知的情况，求另外一个类别的错误率。可以利用聂曼-皮尔逊决策(N-P判决)来计算决策面。

3. h为类别，D为特征数据，P（D|h）与P(h|D)的区别？

计算假设目标的概率P(D|h). 假设成立时，观测到D的概率。有多种假设都能观测到数据D，每种假设所占的比率。先验概率

P(h|D)，假设h的后验概率，其反应了训练数据后，假设h成立的概率。其反应了训练数据的影响。

但先验概率p(h)是与训练数据D相互独立的.

极大后验假设MAP， max a posteriori 最大可能假设。

MAP = max（P(h|D)）

贝叶斯推理的概率，很大程度上依赖于先验概率。首先，需要知道先验概率。

由贝叶斯推理，推导出最大似然估计，再推导出最小方差估计（平方误差最小估计）。

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在模式分类中，贝叶斯决策，比较简单的场景是：先验概率已知，然后，某两种或多种条件下，某事件发生的概率已知。求出后验概率，即贝叶斯公式，根据后验概率的大小，做出决策。

稍微复杂的场景：

先验概率已知，连续概率密度函数的类型已知，但是参数未知。有大量的抽样数据，

则据抽样数据，估计概率密度函数的参数。

然后，据贝叶斯公式，计算出决策函数，决策面。

拿到决策面，就能对测试数据进行分类了。

在这里，有几个问题，如果弄清楚，对贝叶斯决策就会由比较清晰的掌握。

1）什么判决函数，什么是判决面？

对特征点进行分类的界面，就是判决面；而分类界面的函数就是判决函数。

2）后验概率与贝叶斯公式的关系，使用后验概率、贝叶斯决策的先决条件？

类别的经验分布概率、特征在不同类别下的先验概率（即条件概率）已知，或者可计算

3）经典分布概率，包括

类别的先验概率

类别特征的条件经验分布概率，即特征在不同类别中的概率

4） max 与最小误差判决面的关系

5）高斯分布

如何求每个类别的高斯分布？

相邻判决面的求解？那非相邻类别那？

6）高斯分布的分类，哪些因素有关？

均值：决定中心位置

方差：决定了判决面到中的距离

7) 错误率有哪些？

P1(e)： P(w2|x)，分类为w1时，错误率

P2(e)： P(w1|x)，分类为w2时，错误率

如何计算总的错误率？

P(e) = 积分（max[P(w2|x)*P(x), P(w1|x)*P(x)]）

如何应用最大似然估计推导错误率？

错误样本的个数t，总样本个数为N，假设错误率为e

则其联合分布密度为

二项分布

求极值

计算出，错误率的估计量 t/N

8）聂曼-皮尔逊决策的使用场景：

P（wi）先验概率未知，在P2（e）已知的情况下，使P1（e）尽可能小的决策面。求判决阈值。

采用拉格朗日乘数法进行推导计算。

因为P1(e)错误的后果比较严重，所以要严格限制其错误率。

两种类别的概率密度函数已知：p(x|w1), p(x|w2)

则判决函数为 p(x|w1) / p(x|w2)

判决面为 p(x|w1) / p(x|w2) = lamda， lamda为阈值。

阈值lamda如何求解？

已知错误率P1(e)，p(x1 | w1), 查表，可以求出阈值

9) 均值向量，协方差矩阵未知情况下，如何利用样本进行估计

向量形式：均值

协方差矩阵：

bays的训练，就是利用各个类别的样本，估计各个类别的方差和均值。然后计算决策面。

判决函数，应该是一组空间的集合；而判决面就是两组空间的交集/交面。

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归纳偏置

什么是无偏的学习器？

期望与样本均值相等。线性特征。

学习器必须对目标概念做预先的假设，否则无法对未来的实例进行分类。

由于归纳学习需要预先假设，这种形式，被称为归纳偏置。用自己话说就是归纳假设。

如何评估假设？

1. 估计的方差

均值的误差程度，也是概率分布的宽度或散度。随机变量与其均值的差有多大。即使均值无偏，方差可能比较大。

2. 估计的偏差

期望值，与真实值，差距

精度的分析

即或是分类的精度

样本错误率：统计样本被错误分类的比率

真实错误率：按真实概率分布抽取实例，然后统计器错误率

样本错误率与真实错误率的关系？

样本错误率是对真实错误率的估计。

如何评价这种估计？

统计理论：

100%：真实错误率，是样本错误率

95%：真实错误率，是一个区间，以样本错误率为中心的区间

百分比，又称为置信度，而真实错误率的区间，又称为，置信区间。对于二项分布，样本个数越大，置信度不变，置信区间就越小。

测试样本错误率多次

每次选用不同的样本，统计的错误率符合二项分布。

独立且多次尝试的0-1实验，生成一个独立的、同分布的随机变量序列，这个序列

其分布为二项分布

np(1-p) >= 5 或 n>=30时，二项分布可以用正态分布近似表示。

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1. 朴素贝叶斯分类器

即MAP，最大后验概率分类器。如何训练分类器？

已知训练数据。

只需统计各个类别的频率p(h)，及特征数据在各个类别中的频率(D|h)。

已知待分类数据D，可以求其max（P(h|D)），等同于max(p(hj) * p(D|hj))

2. 贝叶斯网络

是指一组条件概率，而朴素贝叶斯分类器假设所有特征变量是相互独立的。而贝叶斯网络将此条件放宽。

理解贝叶斯网络，就需要理解条件独立性。两个变量间无相互影响，及相互独立。条件独立，两个变量，在给定条件下，如第三个变量的指定值的条件下，相互独立。

条件概率，具有传播性，形成一个链式的规则。

如

x -> y -> z -> w

每两个相邻变量的条件概率都知道，如何求P（w|x）。这就是贝叶斯定理的概率传播。

联合概分布的求解。

p(xyzw) = p(x) * p(y|x) * p(z|x,y) * p(w|x, y, z)

贝叶斯网络的一个重要性质，一个节点独立于非前驱节点。即p(xi | x(i-1)...x1) = p(xi | x(i-1)) 类似马尔科夫过程。

贝叶斯网络，也可以看做马尔科夫链的非线性扩展。

结构形式：

有向无环图（DAG），即是一个前向多段图的结构

如何学习贝叶斯置信网络？

1. 可以预先给出网络结构

2. 也可以由训练数据来获取

网络变量如何获取？

有的可以从训练样例中得到，有些不能得到。

需要理解的概念：

1. 条件概率，条件独立性。

p(x3 | x2, x1) = p(x3 | x2)

p(x3 | x1) 链式计算

p(x1 | x3)

或者，可以理解，给定前驱节点的值时，本节点独立于非前驱节点。而前驱节点不确定时，本节点与非相邻节点就有不独立了。

2. 贝叶斯网络的概率推理，概率链式计算。

3. 变量消元算法，进行推理计算

4. 团树传播算法，进行推理计算

5. 近似推理，大数定律

6. 结构学习：发现变量之间的图关系

7. 参数学习：决定变量之间相互关联的量化关系：最大似然估计，贝叶斯估计

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高斯混合模型

序列视频图像，背景分析的处理方式：

1. 直接选用一帧，作为背景

2. 序列图像，加权

3. 高斯混合建模GMM

1）判定

2）更新

前两个比较好理解。而GMM的理解需要高斯分布、样本与总体的关系理解作为基础。

单分布高斯背景建模是指所有像素都服从同一分布。

高斯混合背景建模是指多个像素服从不同的高斯分布，且不同的权值。

首先，假设，一个像素点作为背景像素的分布服从高斯分布。一个像素点的连续序列如X1，X2，...Xn都是随机变量，服从同一正态分布。即单分布高斯背景建模

而一个像素点的实际值就是样本值。

样本与样本值要区分开的。

高斯分布的参数：期望，方差都是未知的。所以，需要样本进行估计分析。

由序列图像，可以计算出样本均值/期望，样本方差/协方差，再有一个样本值，与均值、样本值的关系。当大于某阈值时，就认定为背景，小于某阈值时，判定为前景。

样本值、均值、方差、权值

学习率

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