White noise

本文科普一下高斯白噪声（white Gaussian noise，WGN）。

百度百科上解释为“高斯白噪声，幅度分布服从高斯分布，功率谱密度服从均匀分布”，听起来有些晦涩难懂，下面结合例子通俗而详细地介绍一下。

白噪声，如同白光一样，是所有颜色的光叠加而成，不同颜色的光本质区别是的它们的频率各不相同（如红色光波长长而频率低，相应的，紫色光波长短而频率高）。白噪声在功率谱上（若以频率为横轴，信号幅度的平方为功率）趋近为常值，即噪声频率丰富，在整个频谱上都有成分，即从低频到高频，低频指的是信号不变或缓慢变化，高频指的是信号突变。

由傅里叶变换性质可知，时域有限，频域无限；频域有限，时域无限。那么频域无限的信号变换到时域上，对应于冲击函数的整数倍（由公式也可推得：）。即说明在时间轴的某点上，噪声孤立，与其它点的噪声无关，也就是说，该点噪声幅值可以任意，不受前后点噪声幅值影响。简而言之，任意时刻出现的噪声幅值都是随机的（这句话实际上说的就是功率谱密度服从均与分布的意思，不同的是，前者从时域角度描述，而后者是从频域角度描述）。这里要指出功率谱密度（PowerSpectral Density，PSD）的概念，它从频域角度出发，定义了信号的功率是如何随频率分布的，即以频率为横轴，功率为纵轴。

既然白噪声信号是“随机”的，那么反过来，什么叫做“相关”呢？顾名思义，相关就是某一时刻的噪声点不孤立，和其它时刻的噪声幅值有关。其实相关的情况有很多种，比如此时刻的噪声幅值比上一时刻的大，而下一时刻的噪声幅值比此时刻的还大，即信号的幅值在时间轴上按从小到大的顺序排列。除此之外，幅值从大到小，或幅值一大一小等都叫做“相关”，而非“随机”的。

解释完了“白噪声”，再来谈谈“高斯分布”。高斯分布，又名正态分布（normal distribution）。概率密度函数曲线的形状又两个参数决定：平均值和方差。简单来说，平均值决定曲线对称中线，方差决定曲线的胖瘦，即贴近中线的程度。概率密度定义了信号出现的频率是如何随着其幅值变化的，即以信号幅值为横轴，以出现的频率为纵轴。因此，从概率密度角度来说，高斯白噪声的幅度分布服从高斯分布

描述了“白噪声”和“高斯噪声”两个含义，那么，回到文章开头的解释：高斯白噪声，幅度分布服从高斯分布，功率谱密度服从均匀分布。它的意义就很明确了，上半句是从空域(幅值)角度描述“高斯噪声”，而下半句是从频域角度描述“白噪声”。

下面以matlab程序演示，感性认识一下高斯白噪声。

程序1（高斯白噪声）：

noise = wgn(1000,1,0); %生成1000*1个高斯白噪声，功率为0dBW（分贝瓦）
y1 = fft(noise,1000); %采样点个数1000个
p1 = y1.*conj(y1); %conj()得到相应的复共轭数,y1.*conj(y1)就是模的平方
ff = 0:499;
figure,stem(ff,p1(1:500)); %只显示一半
xlabel(‘频率’);
ylabel(‘功率’);
title(‘功率谱’);

由上图可以看出，高斯白噪声的功率谱密度服从均匀分布。

若对噪声进行由小到大排序，则使其从随机噪声变为相关噪声，则功率谱密度就不再是均匀分布了。

程序2（非高斯白噪声）：

sort_noise = sort(noise); %对噪声进行由小到大排序，将随机噪声变为相关噪声
y2 = fft(sort_noise,1000);
p2 = y2.*conj(y2);
figure,stem(ff,p2(1:500));
xlabel(‘频率’);
ylabel(‘功率’);
title(‘功率谱’);

下面让我们从高斯白噪声的统计信息和幅值分布看一下它的特点。

程序3（高斯白噪声）：

%从高斯白噪声的统计信息和幅值分布看一下它的特点
mean_value = mean(noise) %均值为0
variance = var(noise) %方差为1，功率为0dBW（10*log1=0）
figure,hist(noise);
xlabel(‘幅值’);
ylabel(‘频次’);
title(‘噪声幅值的直方图’);

直方图的纵轴为频次，而概率密度的纵轴为频率，但是两者大致的分布曲线确是一样的，因此，这幅图解释了高斯白噪声的幅度分布服从高斯分布。

PS：上面对噪声进行由小到大排序，则使其从随机噪声变为相关噪声，得到的噪声其幅度分布仍然服从高斯分布

代码：http://download.csdn.net/detail/szlcw1/8229587

二、MATLAB中 Band-Limited White Noise
Noise Power：指定白噪声PSD（能量谱密度）的高度，这个PSD并不是噪声的能量p（详细介绍请见：噪声能量），它与能量之间有一个转换关系，p=Noise power/tc，tc就在下面；

Sample time：指定噪声的相关时间tc，这个tc与系统的带宽之间的关系是tc=（1/N）**（2pi/fmax），其中fmax是系统的带宽（实际上是角频率，fmax=2pif，这个f才是我们常使用的频率Hz），N可以看成是采样率与系统频率的倍数关系（文档中推荐使用100），即采样率=N系统频率，这和采样定理一致；

Seed:这个参数是用来指定随机数生成器的初始值的。

Band-Limited White Noise模块服从正态分布（N(μ,σ)）的随机数，所以它的能量可以视为σ2（即它的方差）。默认情况下Noise power为0.1，Sample time为0.1，实际上它的能量为0.1÷0.1=1，即σ=1，服从的是标准正态分布N（0,1）。你可以尝试直接将默认设置输出到工作空间。

例2：
产生一个均值为0，方差为0.01的白噪声，系统周期0.1s。则应该设置以上参数：
Noise power为0.00001
Sample time为0.001
seed ：系统默认就好

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