预备知识：

一、二阶常微分方程的解

对于 ${y}''\left ( x \right )+p{y}'\left ( x \right )+qy\left ( x \right )=0$

特征方程： $r^{2}+pr+q=0$

特征方程的解： $r=\frac{-p\pm \sqrt{p^{2}-4q}}{2}=r_{1}/r_{2}$

(1)若 $r_{1}\neq r_{2}$ (实数），

$y=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}$

(2)若 $r_{1}=r_{1}=a$ (实数）

$y=\left ( c_{1}x+c_{2} \right )e^{ax}$

(3)若 $r_{1}=a+ib,r_{2}=a-ib$

$y=e^{ax}\left ( c_{1}cosbx+c_{2}sinbx \right )$

二、

设以2l为周期的函数在 $[-l,l]$ 上可以展开为三角函数

$f(x)=\frac{a^{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\left ( a_{n}cos\frac{n\pi }{l}x+b_{n}sin\frac{n\pi }{l}x \right )$

$a_{n}=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)cos\frac{n\pi }{l}xdx.n=0,1,......$

则 $b_{n}=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)sin\frac{n\pi }{l}xdx.n=1,2,......$

若f(x)为奇函数

$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}sin\frac{n\pi x }{l},b_{n}=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)sin\frac{n\pi }{l}xdx,n=1,2,...$

若f(x)为偶函数

$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}cos\frac{n\pi }{l}x,a_{n}=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)cos\frac{n\pi }{l}xdx,n=0,1,...$

一、齐次方程的分离变数法

1. 定解问题

研究两端固定的弦的自由振动

对于确定的频率，解是驻波：每一点绕平衡位置振动T(t)

振幅随位置变化X(x)

2. 分离变量

驻波解： $u\left ( x,t \right )=T(t)X(x)$ 【解的分离变量】

代入 $u_{tt}-a^{2}u_{xx}=0$ 中，

化简得 $X{T}''-a^{2}{X}''T=0$

$\frac{X{T}''-a^{2}{X}''T}{a^{2}XT}=0$

有： $\frac{{T}''(t)}{a^{2}T(t)}=\frac{{X}''(x)}{X(x)}=-\lambda$ (负号是为了求非零解）

得两个常微分方程：

这两个方程都是用来分别求出T(t)和X(t)的

${T}''+\lambda a^{2}T=0$

${X}''+\lambda X=0$

3. 求解本征值问题（代入边界条件求X(x)）

代入边界条件

$u|_{x=0}=0,X(0)T(t)=0,X|_{x=0}=0$

$u|_{x=l}=0,X(l)T(t)=0,X|_{x=l}=0$

当且仅当 $\lambda >0$

$X(x)=C_{1}cos\sqrt{\lambda x}+C_{2}sin\sqrt{\lambda x}$

$X(0)=0,C_{1}=0$

$X(l)=0,C_{2}sin\sqrt{\lambda l}=0$

得非零解 $C_{2}\neq 0,sin\sqrt{\lambda l} =0, \lambda =\frac{n^{2}\pi ^{2}}{l^{2}},n=1,2,3,...$

得傅里叶正弦级数的基本函数族

$X(x)=C_{2}sin\frac{n\pi x}{l}$

C2是积分常数

（分离变数过程中所引入的常数λ不能为负数或零，甚至也不能是任意的正数，它必须取特定数值，才可能从方程和条件求出有意义的解．常数λ的这种特定数值叫作本征值，相应的解叫作本征函数．方程和条件则构成所谓本征值问题．）

本征值问题及其解

泛定方程

边界条件

本征值问题

本征值

本征函数

$u_{tt}-a^{2}u_{xx}=0$

或 $u_{t}-a^{2}u_{xx}=0$

（0<x<l,t>0)

$u|_{x=0}=0$ , $u|_{x=l}=0$

${X}''+\lambda X=0$

$x|_{x=0}=x|_{x=l}=0$

$\lambda =\frac{k^{2}\pi ^{2}}{l^{2}}$

$k=1,2,3,...$

$sin\frac{k\pi }{l}x$

$k=1,2....$

$u|_{x=0}=0$ ,

$u_{x}|_{x=l}=0$

$\lambda =\left [ \frac{\left ( k+\frac{1}{2} \right )\pi}{l} \right ]^{2}$

$k=0,1,2,3,...$

$sin\frac{\left ( k+\frac{1}{2} \right )\pi }{l}x$

$k=0,1,2....$

$u_{x}|_{x=0}=0$ ,

$u|_{x=l}=0$

$\lambda =\left [ \frac{\left ( k+\frac{1}{2} \right )\pi}{l} \right ]^{2}$

$k=0,1,2,3,...$

$cos\frac{\left ( k+\frac{1}{2} \right )\pi }{l}x$

$k=0,1,2....$

$u_{x}|_{x=0}=0$

$u_{x}|_{x=l}=0$

$\lambda =\frac{k^{2}\pi ^{2}}{l^{2}}$

$k=0,1,2,3,...$

$cos\frac{k\pi }{l}x$

$k=0,1,2....$

**4. 先求特解，再叠加求出通解（求T(x)，T(x)*X(x)求得 $u_{n}(x,t)$ ）**

${T}''+\lambda a^{2}T=0$

代入 $\lambda =\frac{n^{2}\pi ^{2}}{l^{2}},n=1,2,3,...$

${T}''+\left ( \frac{n\pi a}{l}\right )^{2}T=0$

特解 $T(t)=Acos \frac{n\pi a}{l}t+Bsin \frac{n\pi a}{l}t$ (A,B是积分常数）

所以有特征解

$u_{n}(x,t)=(A_{n}cos \frac{n\pi at}{l}+B_{n}sin \frac{n\pi at}{l})sin\frac{n\pi x}{l}$ $n=1,2,3,...$

每一个n代表了一个驻波，是两端固定弦的本征振动

所以通解为

$u_{n}(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty }(A_{n}cos \frac{n\pi at}{l}+B_{n}sin \frac{n\pi at}{l})sin\frac{n\pi x}{l}$ $n=1,2,3,...$

5. 利用本征函数的正交性确定待定系数（初始条件代入求A,B）

$u|_{t=0}=\varphi (x)$ $\sum_{n=1}^{\infty }A_{n}sin\frac{n\pi x}{l}=\varphi (x)$ $A_{n}=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}\varphi (\xi )sin\frac{n\pi \xi }{l}d\xi$

$u_{t}|_{t=0}=\psi (x)$ $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n\pi a}{l}B_{n}sin\frac{n\pi x}{l}=\psi (x)$ $B_{n}=\frac{2}{n\pi a}\int_{0}^{l}\psi (\xi )sin\frac{n\pi \xi }{l}d\xi$

6. 物理意义：

$u_{n}(x,t)$ 是驻波，（固有振动模式）

节点数n+1,位置 $x=0.\frac{l}{n},\frac{2l}{n},......,\frac{(n-1)l}{n},l$

相邻节点之间距离等于半波长

波长= $\frac{2l}{n}$

本征频率 $\omega _{n}=\frac{n\pi a}{l},v=\frac{\omega _{n}}{2\pi }=\frac{na}{2l}$

n=1, $\omega _{1}=\frac{\pi a}{l}$ ,基频——>基波（决定音调）

n>1, $\omega _{n}=\frac{n\pi a}{l}$ ，谐频——>谐波（决定音色）

步骤总结：

一、列出泛定方程、定解条件——初始条件+边界条件

二、分离变量

$\frac{X{T}''-a^{2}{X}''T}{a^{2}XT}=0$

${T}''+\lambda a^{2}T=0$ .

${X}''+\lambda X=0$

(1）代入边界条件求X(x)，本征值 $\lambda$

$X(x)=C_{1}cos\sqrt{\lambda x}+C_{2}sin\sqrt{\lambda x}$

$X(0)=0,C_{1}=0$

$X(l)=0,C_{2}sin\sqrt{\lambda l}=0$

得非零解 $C_{2}\neq 0,sin\sqrt{\lambda l} =0, \lambda =\frac{n^{2}\pi ^{2}}{l^{2}},n=1,2,3,...$

得傅里叶正弦级数的基本函数族

$X(x)=C_{2}sin\frac{n\pi x}{l}$

（2）代入 $\lambda$ 求T（t）

$T(t)=Acos \frac{n\pi a}{l}t+Bsin \frac{n\pi a}{l}t$

(A,B是积分常数）

（3) 代入(1),(2)中的T(t),X(x),

$u\left ( x,t \right )=T(t)X(x)$

得 $u_{n}(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty }(A_{n}cos \frac{n\pi at}{l}+B_{n}sin \frac{n\pi at}{l})sin\frac{n\pi x}{l}$ $n=1,2,3,...$

三、代入初始条件，算得A,B

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一、二阶常微分方程的解

对于

特征方程：

特征方程的解：

(1)若(实数），

(2)若(实数）

(3)若

二、

设以2l为周期的函数在上可以展开为三角函数

则

若f(x)为奇函数

若f(x)为偶函数

一、齐次方程的分离变数法

1. 定解问题

研究两端固定的弦的自由振动

对于确定的频率，解是驻波：每一点绕平衡位置振动T(t)

振幅随位置变化X(x)

2. 分离变量

驻波解：【解的分离变量】

代入中，

化简得

有：(负号是为了求非零解）

得两个常微分方程：

这两个方程都是用来分别求出T(t)和X(t)的

3. 求解本征值问题（代入 边界条件求X(x)）

代入边界条件

当且仅当

得 非零解

得傅里叶正弦级数的基本函数族

C2是积分常数

本征值问题及其解

泛定方程

边界条件

本征值问题

本征值

本征函数

或

（0<x<l,t>0)

,

,

,

4. 先求特解，再叠加求出通解（求T(x)，T(x)*X(x)求得）

代入

特解(A,B是积分常数）

所以有特征解

每一个n代表了一个驻波，是两端固定弦的本征振动

所以通解为

5. 利用本征函数的正交性确定待定系数（初始条件代入求A,B）

6. 物理意义：

是驻波，（固有振动模式）

节点数n+1,位置

相邻节点之间距离等于半波长

波长=

本征频率

n=1,,基频——>基波（决定音调）

n>1,，谐频——>谐波（决定音色）

步骤总结：

一、列出泛定方程、定解条件——初始条件+边界条件

二、分离变量

.

(1）代入边界条件求X(x)，本征值

得 非零解

得傅里叶正弦级数的基本函数族

（2）代入求T（t）

(A,B是积分常数）

（3) 代入(1),(2)中的T(t),X(x),

得

三、代入初始条件，算得A,B

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$u_{x}|_{x=0}=0$ ,

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n=1, $\omega _{1}=\frac{\pi a}{l}$ ,基频——>基波（决定音调）

n>1, $\omega _{n}=\frac{n\pi a}{l}$ ，谐频——>谐波（决定音色）

${T}''+\lambda a^{2}T=0$ .

(1）代入边界条件求X(x)，本征值 $\lambda$

得非零解 $C_{2}\neq 0,sin\sqrt{\lambda l} =0, \lambda =\frac{n^{2}\pi ^{2}}{l^{2}},n=1,2,3,...$

（2）代入 $\lambda$ 求T（t）

得 $u_{n}(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty }(A_{n}cos \frac{n\pi at}{l}+B_{n}sin \frac{n\pi at}{l})sin\frac{n\pi x}{l}$ $n=1,2,3,...$