语法分析：LL(1)分析

本篇介绍的LL(1)分析，这是一种自上而下分析的方法，第一个 L 表示从左向右扫描，
第二个 L 表示分析过程是最左推导，(1)表示每次只向前看一个符号进行分析
关于语法描述的概念

本文中，若无特别说明，小写字母[a-z]表示终结符，α、β等∈(V_T∪V_N)*，ABCD等表示非终结符

自上而下分析

从文法的开始符号出发，向下推导。推出句子
根据输入串，从文法开始符号（根结点）出发，自上而下地为输入串建立语法树

eg：
有语法：S → xAy A → ** | *
从左向右扫描输入串，取到 x 进行匹配时，分析文法开始符号 S 的产生式，只有一个 S → xAy，
那么只能将 S 推导为句型 xAy，继续由 xAy 来匹配输入串，

输入符号（终结符）x 与当前句型中的 x 相匹配，则继续用 Ay 匹配剩下的输入串 *y

对符号 * 进行匹配，遇到非终结符 A，分析 A 可进行的推导，A → ** | *
按照先后顺序，先尝试 A → **，则现在的的分析树变成

很好，我们使 * 得到了匹配，继续匹配

哟吼，完蛋，非终结符 * 是无法匹配 y 的，匹配失败
但是我们还有另外一条路 A → * 没试呢
回到刚刚 A 没有展开，* 等待匹配的状态，将 A 推导为 *

* 得到匹配后，y 也匹配成功，输入串结束且匹配成功，语法分析结束
这就是LL(1)的推导过程

那么，这种匹配方式就存在一些限制

回溯问题
这是一个非终结符具有多个产生式候选带来的问题
当一个非终结符用某个候选式进行匹配时，匹配成功可能是暂时的
如果要遍历所有匹配的可能，在每个多候选式终结符进行匹配时，就要记录下当前等待匹配
的符号的位置、当前推导句型中非终结符的位置，和该非终结符选择的产生式的序号
某次匹配失败后，舍弃某些分析结果，回溯到上一个岔路口，走下一条路尝试
回溯会导致语法分析的效率问题，
此外，最终分析失败时，没法确定应该在哪个岔路口抛出错误

还有一个上述推导示例没有反映出来的死循环问题
文法左递归问题
假设有文法：S → xAy A → A* | *
非终结符 A 的产生式是以 A 开头的串，称为左递归

在上述匹配过程中，就会进入到 A 的左递归的产生式的无限循环中，连回溯的机会都莫得

因此要消除文法的左递归，并避免回溯

消除左递归

存在左递归 P → Pα₁ | Pα₂ |…| Pα_m | β₁ |…| β_n
（每个α都不等于ε，每个β都不以P开头）
观察上式，易知 P 推导出的句型为 (β₁ |…| β_n)(α₁ | α₂ |…| α_m)^*
通过以下方法将左递归转化为右递归（易知右递归不会进入无限循环）
P → (β₁ |…| β_n)P^/
P^/ → α₁P^/ | α₂P^/ |…| α_mP^/ | ε

例，有如下文法G(E)：
E → E + T | T
T → T * F | F
F → (E) | i
消除左递归后
E → TE^/
E^/ → + TE^/ | ε
T → FT^/
T^/ → * FT^/ | ε
F → (E) | i

下面给出一种左递归消除算法，使用这个算法的前提条件如下：

不含以 ε 为右部的产生式
不含有回路（非终结符 P 经一次或若干次推导再次得到 P）

实际上，这两个条件并不苛刻，大多数文法都可以满足

将文法 G 当前所有的非终结符按某种顺序排列 P₁，P₂，P₃，……，P_n；
并按此顺序将 P_i 改造成 P_i → a | P_i+1 | P_i+2 | … | P_n ，具体做法是{
将所有的 P_i → P_jγ 的规则改写成 P_i → ( δ₁ | δ₂ | … | δ_n )γ ，其中 j < i，且 P_j → δ₁ | δ₂ | … | δ_n
然后消除 P_i 里的直接左递归，得到形如 P_i → a | P_i+1 | P_i+2 | … | P_n 的 P_i
}
消除左递归后的文法规则中可能有一些无法到达，删除它们

另外，由于初始排列顺序的不同，最终消除左递归后的得到的文法规则可能不同，但是它们产生的语言是一样的（证明略）

消除回溯

消除回溯即是要保证，匹配某个符号时，可选择的候选式是唯一的、准确的，
若输入串是合法的句子，所选推导一定可以使输入串分析成功；如果分析不成功，则输入串一定不是合法句子

那么在匹配符号 a 时，非终结符 P 仅有一个产生式可以推导出以 a 开头的串，就是我们需要的情况

FIRST集合

由上面的想法，对不含左递归的文法 G 所有非终结符的每个候选 α 定义终结首符集FIRST集合如下，（^*⇒，*在 ⇒ 上方）
FIRST(α) = { a | α ^*⇒ a…，a ∈ V_T }，即FIRST(α)中的符号均是候选 α 可以推导出的串的第一个终结符
特别是，若 α ^*⇒ ε，规定 ε ∈ FIRST(α)

那么上述想法用FIRST集合的概念描述就是
非终结符 A 的任何两个不同的候选 α_i、α_j，有FIRST(α_i) ∩ FIRST(α_j) = ∅
当使用 A 去匹配输入符号 a 时，若某FIRST(α)中包含a，就选择 A 的候选式 α

斯巴拉西，但是如何保证 FIRST(α_i) ∩ FIRST(α_j) = ∅ 呢？

有提取左公共因子算法如下

若关于 A 的语法规则符合如下形式：A → δβ₁ | δβ₂ | … | δβ_n | δ | γ₁ | γ₂ | … | γ_m
则提取左公因子 A → δA^/ | γ₁ | γ₂ | … | γ_m，A^/ → β₁ | β₂ | … | β_n | ε |
继续检查 A 与 A^/ 的候选式是否可以继续提取

反复提取左公共因子（包括新引入的非终结符），就可以使得所有候选首符集两两不相交

现在我们已经得到不含有左递归、对于任何输入符号都能确定唯一推导过程的文法

然而，还是有一种情形会使我们的推导有不确定性
考虑如下文法
S → AB
A → a | ε
B → aC
C → ……
当匹配输入串 ab…… 时，取到输入符号 a，将 S 推导为 AB 后，
出现了无法确定推导过程的情形：

将 A 推导为 a ，a 匹配成功，进行下一单词的匹配
将 A 推导为 ε，用 B 去匹配 a ，再继续进行推导

注意我们是无回溯的，当然不能有岔路

FOLLOW集合

为了确定化这种情况(FOLLOW集合的作用：判断能不能将非终结符推导为 ε )，定义FOLLOW集如下
FOLLOW(A) = { a | S ⇒^*…Aa…，a ∈ V_T }，有些输入串以 # 作为结束标志，因此若 S ⇒^*…A，规定 # ∈ FOLLOW(A)
若某个非终结符 A 的候选首符集FIRST(α_i)包含 ε，则要求FIRST(α_i)∩FOLLOW(A) = ∅

也就是说，如果某个等待匹配的输入符号 a，不属于此时的非终结符 A 的FIRST集合，就会有三种情况

A 的候选首符集均不包含 ε，a 匹配失败，a 此时在输入串中导致语法错误
A 的某个候选首符集包含 ε，且 a ∈ FOLLOW(A)，则将 A 推导为 ε，继续由 A 后的推导串来匹配 a
A 的某个候选首符集包含 ε，且 a ∉ FOLLOW(A)，a 匹配失败，a 此时在输入串导中致语法错误

okk，罗里吧嗦这么多，终于把适用于LL(1)分析的文法的限制条件讲完辽
再总结一遍

文法不含左递归
文法中每一个非终结符 A 的各个产生式的候选首符集不相交，即若 A → α₁ | α₂ | … | α_n
FIRST(α_i)∩FIRST(α_j) = ∅，i ≠ j
对于文法中的每个非终结符 A，若它的某个候选首符集包含 ε，则 FIRST(α_i)∩FOLLOW(A) = ∅

一个文法，先消除左递归，再提取公共左因子，得到的文法 G 若满足以上条件，
则称文法 G 为LL(1)文法，可以进行LL(1)分析

LL(1)分析的过程如下：
假设当前等待匹配的符号为 a，进行匹配的非终结符为A，A 的所有产生式为 A → α₁ | α₂ | … | α_n，

若 a ∈ FIRST(α_i)，则将 A 推导为 α_i，a得到匹配，斯巴拉西，继续分析下一个符号 ①
若 a ∉ FIRST(α_i)
- 若 ε ∈ FIRST(α_i)，且 a ∈ FOLLOW(A)，则将 A 推导为 ε，a 交给 A 后面的串匹配 ②
- 否则，匹配失败，a 此时在输入串中是语法错误 ③

如果这个文法是LL(1)文法，则每一步都能且只能在①②③中确定，每一步都只有一种情况。这就是LL(1)分析
妙呀

构造FIRST集合和FOLLOW集合

还有一个问题没有解决，判断文法是否是LL(1)文法，以及分析过程中都要用到FIRST集合和FOLLOW集合

FIRST集合

按照FIRST集合的定义，FIRST(α) = { a | α ⇒^* a…，a ∈ V_T }
将 α 分情况讨论

α = X，X ∈ V_T∪V_N
α = X₁X₂…X_n，X_i ∈ V_T∪V_N

通过反复扫描产生式，运用以下规则构造FIRST集合，直到每个FIRST(α)不再变化

构造每个文法符号的FIRST集合
对于每一个X∈V_T∪V_N，

若X∈V_T，则FIRST(X) = { X }；
若X∈V_N，
- 若产生式形如 X → a…，则把 a 加入到FIRST(X)中；
  若 X → ε 也是产生式，则把 ε 也加入到FIRST(X)中；
- 若 X → Y… 是一个产生式，且 Y∈V_N，则把FIRST(Y)中的所有非 ε 元素加入到FIRST(X)中；
- 若 X → Y₁Y₂…Y_i-1Y_i…Y_k，Y₁ ~ Y_i-1 都是非终结符，
  若FIRST(Y₁) ~ FIRST(Y_i-1)均含有 ε，即 Y₁…Y_i-1 ⇒^* ε，则将FIRST(Y_i)加入FIRST(X)；
  若所有 FIRST(Y) 均含有 ε，即 Y₁Y₂…Y_i-1Y_i…Y_k ⇒^* ε，则将 ε 加入FIRST(X)；

构造任何符号串 α 的FIRST集合
对于文法 G 的任何符号串 α = X₁X₂…X_n 构造集合FIRST(α)，

将FIRST(X₁) - {ε} 加入FIRST(α)；
若FISRT(X₁) ~ FIRST(X_i-1)均包含 ε，则将FIRST(X_i) - {ε} 加入FIRST(α)；
若FISRT(X₁) ~ FIRST(X_n)均包含 ε，则将 ε 加入FIRST(α)；

构造FOLLOW集合

首先是FOLLOW集合的定义 FOLLOW(A) = { a | S ⇒^* …Aa…，a ∈ V_T }

反复使用以下规则，对文法 G 的每个非终结符A构造FOLLOW(A)，直至每个FOLLOW不再变化为止

将输入串结束标志 # 加入文法的开始符号S对应的FOLLOW(S)中
若 A → αBβ 是一个产生式，则把 FIRST(β) - {ε} 加入到FOLLOW(B)中
若 A → αB 是一个产生式，或 A → αBβ 是一个产生式而 β ⇒^* ε（即 ε ∈ FIRST(β)），则把 FOLLOW(A)加入到FOLLOW(B)中

注意上述步骤中，α、β ∈ (V_T ∩ V_N)^*，B ∈ V_N

例：文法G(E)为
E → TE^/
E^/ → + TE^/ | ε
T → FT^/
T^/ → * FT^/ | ε
F → (E) | i

则文法 G 的FIRST集合与FOLLOW集合为
FIRST(E) = { (，i } FOLLOW(E) = { #，) }
FIRST(E^/) = { +，ε } FOLLOW(E^/) = { #，) }
FIRST(T) = { (，i } FOLLOW(T) = { +，#，) }
FIRST(T^/) = { *，ε } FOLLOW(T^/) = { +，#，) }
FIRST(F) = { (，i } FOLLOW(F) = { *，+，#，) }

消除左递归、提取公共左因子后，再构造这个文法的FIRST集合和FOLLOW集合，
判断其是否为LL(1)文法，若是，则可以使用LL(1)的分析方法进行语法分析

2019/8/10