【分块入门】LOJ 数列分块入门 1 - 9 (学习更新……)
2024-05-03 06:49:17
dl题解 _「分块」数列分块入门1 – 9 by hzwer
LOJ #6277. 数列分块入门 1
- 题意：给出一个长为n的数列，以及n个操作，操作涉及区间加法，单点查值。
- 时间限制：100ms
分块
- 我们将整个数列划分为很多块，暂且分为n / m块，用block[ i ]记录第 i 个数据arr[ i ]对应的块的个数。O(n)【数据读入时就可以操作完成，block[ i ] = (i - 1) / m + 1】
- 如果操作的区间涉及我们划分的“一整块”，那么我们可以直接用一个标记数组lazy[ ]来记录该“块”的add值。最大O(n / m)
- 而操作区间两侧的“非完整的块”，至多有2m个元素，那么就直接暴力更新每个数据的值。最大O(m)
- 所以区间操作的复杂度就是O(m) + O(n / m)，根据均值不等式：a + b >= 2sqrt(ab)，可以得到当m = sqrt(n)时，复杂度最优
- 因为只有单点查询，所以某个点的答案就是arr[ i ] + lazy[ block[ i ] ]。O(1)
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <limits>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define lowbit(x) x & (-x)#define MID (l + r ) >> 1
#define lsn rt << 1
#define rsn rt << 1 | 1
#define Lson lsn, l, mid
#define Rson rsn, mid + 1, r
#define QL Lson, ql, qr
#define QR Rson, ql, qr
#define eps 1e-6using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int maxN = 5e4 + 5;
int n, m, arr[maxN];
int block[maxN];
int lazy[maxN];
void add(int l, int r, int val)
{if(block[l] == block[r])//在一个块内，暴力{for(int i = l; i <= r; i ++ )arr[i] += val;}else{for(int i = l; i <= block[l] * m; i ++ )//非整块的左边，暴力arr[i] += val;for(int i = (block[r] - 1) * m + 1; i <= r; i ++ )//非整块的右边，暴力arr[i] += val;for(int i = block[l] + 1; i <= block[r] - 1; i ++ )//中间整块，标记数组记上lazy[i] += val;}
}
int main()
{scanf("%d", &n); m = sqrt(n);for(int i = 1; i <= n; i ++ ){scanf("%d", &arr[i]);block[i] = (i - 1) / m + 1;}for(int i = 1; i <= n; i ++ ){int op, l, r, c; scanf("%d%d%d%d", &op, &l, &r, &c);if(op == 0)//加add(l, r, c);elseprintf("%d\n", arr[r] + lazy[block[r]]);}return 0;
}LOJ #6278. 数列分块入门 2
- 题意：给出一个长为 n 的数列，以及 n 个操作，操作涉及区间加法，询问区间内小于某个值 x 的元素个数。
- 思路：500ms
分块
- 同样的，我们将整个区间划分为
个区间，每个区间有
- 对于查询操作：因为我们要找区间内小于某个值x的元素，那我们就想了，如果每个块都是有序的，那么我们直接lower_bound就
找到“整块”中满足条件的个数。于是我们想到要给划分的块块内排序。所有块排序复杂度：
- 那么对于“非完整块”，我们还是直接暴力查找。
- 对于修改操作：我们需要考虑，进行加的操作的时候，可以会改变“块”内的有序性。所以我们我们需要对这些“非完整块”进行重新排序。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <limits>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define lowbit(x) x & (-x)#define MID (l + r ) >> 1
#define lsn rt << 1
#define rsn rt << 1 | 1
#define Lson lsn, l, mid
#define Rson rsn, mid + 1, r
#define QL Lson, ql, qr
#define QR Rson, ql, qr
#define eps 1e-6using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int maxN = 5e4 + 5;
inline int read()
{int x = 0, f = 1; char c = getchar();while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') f = -f; c = getchar(); }while(c >= '0' && c <= '9') { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }return x * f;
}
int n, m;
int arr[maxN], block[maxN], lazy[maxN];
vector<int>vt[maxN];
void reset(int x)
{vt[x].clear();for(int i = (x - 1) * m + 1; i <= x * m; i ++ )vt[x].push_back(arr[i]);sort(vt[x].begin(), vt[x].end());
}
void add(int l, int r, int val)
{if(block[l] == block[r]){for(int i = l; i <= r; i ++ )arr[i] += val;reset(block[l]);}else{for(int i = l; i <= block[l] * m; i ++ )arr[i] += val;reset(block[l]);for(int i = (block[r] - 1) * m + 1; i <= r; i ++ )arr[i] += val;reset(block[r]);for(int i = block[l] + 1; i <= block[r] - 1; i ++ )lazy[i] += val;}
}
int query(int l, int r, int val)
{int ans = 0;if(block[l] == block[r]){for(int i = l; i <= r; i ++ )if(arr[i] + lazy[block[i]] < val)ans ++;}else{for(int i = l; i <= block[l] * m; i ++ )if(arr[i] + lazy[block[i]] < val)ans ++;for(int i = (block[r] - 1) * m + 1; i <= r; i ++ )if(arr[i] + lazy[block[i]] < val)ans ++;for(int i = block[l] + 1; i <= block[r] - 1; i ++ )ans += lower_bound(vt[i].begin(), vt[i].end(), val - lazy[i]) - vt[i].begin();}return ans;
}
int main()
{n = read(); m =sqrt(n);for(int i = 1; i <= n; i ++ ){arr[i] = read();block[i] = (i - 1) / m + 1;vt[block[i]].push_back(arr[i]);}for(int i = 1; i <= block[n]; i ++ )sort(vt[i].begin(), vt[i].end());for(int i = 1; i <= n; i ++ ){int op, l, r, c; op = read(); l = read(); r = read(); c = read();if(op == 0) add(l, r, c);else printf("%d\n", query(l, r, c * c));}return 0;
}类似题：HDU 4417 Super Mario
LOJ #6279. 数列分块入门 3
- 题意：给出一个长为 n 的数列，以及 n 个操作，操作涉及区间加法，询问区间内小于某个值 x 的前驱（比其小的最大元素）。
- 跟上个题差不多，稍微改一下二分即可。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll ;ll read()
{ll x = 0, f = 1; char c = getchar();while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') f = -f; c = getchar(); }while(c >= '0' && c <= '9') { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }return x * f;
}const int maxN = 100005;
ll n, m, a[maxN], block[maxN], lazy[maxN];
vector<ll>vt[maxN];void reset(ll x) {vt[x].clear();for(ll i = (x - 1) * m + 1; i <= x * m; ++ i ) {vt[x].emplace_back(a[i]);}sort(vt[x].begin(), vt[x].end());
}void add(ll l, ll r, ll val) {if(block[l] == block[r]) {for(ll i = l; i <= r; ++ i ) {a[i] += val;}reset(block[l]);} else {for(ll i = l; i <= block[l] * m; ++ i ) {a[i] += val;}reset(block[l]);for(ll i = (block[r] - 1) * m + 1; i <= r; ++ i ) {a[i] += val;}reset(block[r]);for(ll i = block[l] + 1; i <= block[r] - 1; ++ i ) {lazy[i] += val;}}
}ll query(ll l, ll r, ll val) {ll ans = INT64_MIN;if(block[l] == block[r]) {for(ll i = l; i <= r; ++ i ) {if(a[i] + lazy[block[l]] < val) {ans = max(ans, a[i] + lazy[block[l]]);}}} else {for(ll i = l; i <= block[l] * m; ++ i ) {if(a[i] + lazy[block[l]] < val) {ans = max(ans, a[i] + lazy[block[l]]);}}for(ll i = (block[r] - 1) * m + 1; i <= r; ++ i ) {if(a[i] + lazy[block[r]] < val) {ans = max(ans, a[i] + lazy[block[r]]);}}for(ll i = block[l] + 1; i <= block[r] - 1; ++ i ) {ll id = lower_bound(vt[i].begin(), vt[i].end(), val - lazy[i]) - vt[i].begin();if(id) ans = max(ans, vt[i][id - 1] + lazy[i]);}}return ans == INT64_MIN ? -1 : ans;
}int main()
{n = read(); m = sqrt(n);for(ll i = 1; i <= n; ++ i ) {a[i] = read();block[i] = (i - 1) / m + 1;vt[block[i]].emplace_back(a[i]);}for(ll i = 1; i <= block[n]; ++ i ) {sort(vt[i].begin(), vt[i].end());}for(ll i = 1; i <= n; ++ i ) {ll op, l, r, c;op = read(), l = read(), r = read(), c = read();if(!op) { //加add(l, r, c);} else { //querycout << query(l, r, c) << endl;}}return 0;
}LOJ #6280. 数列分块入门 4
- 题意：给出一个长为 n 的数列，以及 n 个操作，操作涉及区间加法，区间求和。
- 思路：定义sum[ ]数组表示对应“块”的元素和。分块后进行加操作时，区间中的整块就用lazy[ ]标记，非整块就直接暴力遍历每个元素加，同时元素所在块的sum[ ]也要加上对应的值。区间求和查询时，对于非整块直接暴力查询加上a[i]+lazy[block[ ]]，对于整块则加上sum[i] + lazy[i] * m。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll ;ll read()
{ll x = 0, f = 1; char c = getchar();while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') f = -f; c = getchar(); }while(c >= '0' && c <= '9') { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }return x * f;
}const int maxN = 100005;
ll n, m, a[maxN];
ll block[maxN], lazy[maxN], sum[maxN];void add(ll l, ll r, ll val) {if(block[l] == block[r]) {for(int i = l; i <= r; ++ i ) {a[i] += val;}sum[block[l]] += val * (r - l + 1);} else {for(int i = l; i <= block[l] * m; ++ i ) {a[i] += val;}sum[block[l]] += val * (block[l] * m - l + 1);for(int i = (block[r] - 1) * m + 1; i <= r; ++ i ) {a[i] += val;}sum[block[r]] += val * (r - ((block[r] - 1) * m + 1) + 1);for(int i = block[l] + 1; i <= block[r] - 1; ++ i ) {lazy[i] += val;}}
}ll query(ll l, ll r, ll mod) {ll ans = 0;if(block[l] == block[r]) {for(int i = l; i <= r; ++ i ) {ans += a[i] + lazy[block[l]], ans %= mod;}} else {for(int i = l; i <= block[l] * m; ++ i ) {ans += a[i] + lazy[block[l]], ans %= mod;}for(int i = (block[r] - 1) * m + 1; i <= r; ++ i ) {ans += a[i] + lazy[block[r]], ans %= mod;}for(int i = block[l] + 1; i <= block[r] - 1; ++ i ) {ans += sum[i] + lazy[i] * m, ans %= mod;}}return ans;
}int main()
{n = read(); m = sqrt(n);for(int i = 1; i <= n; ++ i ) {a[i] = read();block[i] = (i - 1) / m + 1;sum[block[i]] += a[i];}for(int i = 1; i <= n; ++ i ) {ll op, l, r, c;op = read(), l = read(), r = read(), c = read();if(!op) { //addadd(l, r, c);} else { //querycout << query(l, r, c + 1) << endl;}}return 0;
}LOJ #6281. 数列分块入门 5
- 题意：给出一个长为n的数列，以及n个操作，操作涉及区间开方，区间求和。
- 思路：开方确实不好搞，但是众所周知分块是优雅的暴力。我们知道2^32最多能开方6次就变成了1，所以我们可以记录一个“块”是否都是1 / 0，如果是的话那么我们不需要再对其进行开方，因为结果不会变了；否则的话我们直接遍历对每个元素进行开方。当然对于非整块我们直接遍历即可。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll ;ll read()
{ll x = 0, f = 1; char c = getchar();while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') f = -f; c = getchar(); }while(c >= '0' && c <= '9') { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }return x * f;
}const int maxN = 100005;
ll n, m, a[maxN], block[maxN], flag[maxN], sum[maxN];void SQRT(ll l, ll r) {if(block[l] == block[r]) {if(!flag[block[l]]) {for(int i = l; i <= r; ++ i ) {sum[block[l]] -= a[i];a[i] = sqrt(a[i]);sum[block[l]] += a[i];}}} else {for(int i = l; i <= block[l] * m; ++ i ) {sum[block[l]] -= a[i];a[i] = sqrt(a[i]);sum[block[l]] += a[i];}for(int i = (block[r] - 1) * m + 1; i <= r; ++ i ) {sum[block[r]] -= a[i];a[i] = sqrt(a[i]);sum[block[r]] += a[i];}for(int i = block[l] + 1; i <= block[r] - 1; ++ i ) {if(!flag[i]) {flag[i] = 1; sum[i] = 0;for(int j = (i - 1) * m + 1; j <= i * m; ++ j ) {a[j] = sqrt(a[j]);sum[i] += a[j];if(a[j] > 1) flag[i] = 0;}}}}
}ll query(ll l, ll r) {ll ans = 0;if(block[l] == block[r]) {for(int i = l; i <= r; ++ i ) {ans += a[i];}} else {for(int i = l; i <= block[l] * m; ++ i ) {ans += a[i];}for(int i = (block[r] - 1) * m + 1; i <= r; ++ i ) {ans += a[i];}for(int i = block[l] + 1; i <= block[r] - 1; ++ i ) {ans += sum[i];}}return ans;
}int main()
{n = read(); m = sqrt(n);for(int i = 1; i <= n; ++ i ) {a[i] = read();block[i] = (i - 1) / m + 1;sum[block[i]] += a[i];}for(int i = 1; i <= n; ++ i ) {ll op, l, r, c;op = read(), l = read(), r = read(), c = read();if(!op) SQRT(l, r);else cout << query(l, r) << endl;}return 0;
}LOJ #6282. 数列分块入门 6
- 题意：给出一个长为 n 的数列，以及 n 个操作，操作涉及单点插入，单点询问，数据随机生成。
- 思路：涉及插入操作，所以每个"块"开一个动态数组即可。但是这就涉及到一个问题，如果大量单点插入到一个块中使得该块远远大于
时，我们就对所有数据进行重构，即重新分块，重构的复杂度为O(n)，最多重构
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll ;ll read()
{ll x = 0, f = 1; char c = getchar();while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') f = -f; c = getchar(); }while(c >= '0' && c <= '9') { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }return x * f;
}const int maxN = 200005;
ll n, m, newN, up, a[maxN];
vector<ll>vt[maxN];pair<ll, ll> find(ll pos) {ll x = 1;while(pos > vt[x].size()) {pos -= vt[x ++ ].size();}return make_pair(x, pos - 1);
}void rebuild() {for(int i = 1; i <= up; ++ i ) {for(vector<ll>::iterator it = vt[i].begin(); it != vt[i].end(); ++ it ) {a[++ newN] = *it;}vt[i].clear();}m = sqrt(newN), up = (newN - 1) / m + 1;for(int i = 1; i <= newN; ++ i ) {vt[(i - 1) / m + 1].emplace_back(a[i]);}newN = 0;
}void Insert(ll pos, ll val) {pair<ll, ll> p = find(pos);vt[p.first].insert(vt[p.first].begin() + p.second, val);if(vt[p.first].size() > 2 * m) rebuild();
}int main()
{n = read(), m = sqrt(n), up = (n - 1) / m + 1;for(int i = 1; i <= n; ++ i ) {a[i] = read();vt[(i - 1) / m + 1].emplace_back(a[i]);}for(int i = 1; i <= n; ++ i ) {ll op, l, r, c;op = read(), l = read(), r = read(), c = read();if(op == 0) { // 第l前插入rInsert(l, r);} else { // 查询a[r]pair<ll, ll> ans = find(r);cout << vt[ans.first][ans.second] << endl;}}return 0;
}LOJ #6283. 数列分块入门 7
- 题意：给出一个长为 n 的数列，以及 n 个操作，操作涉及区间乘法，区间加法，单点询问。
- 思路：
- 对于整块，在已经*m, +a的前提下，①+a2：m = m; a = a + a2 ②*m2：m = m * m2; a = a * m2.
- 对于非整块，铁定是不能对部分这个非整块中的元素进行单独的操作的，所以我们需要将该非整块所在的整块之前的lazy标记全都处理掉，然后再单元素处理。【这时候就需要注意块的右端点，因为最后一个块可能不是长度为m的块，取min(n, )即可】
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll ;ll read()
{ll x = 0, f = 1; char c = getchar();while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') f = -f; c = getchar(); }while(c >= '0' && c <= '9') { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }return x * f;
}const int maxN = 100005;
const ll mod = 10007;ll n, m, a[maxN], block[maxN], lazy_add[maxN], lazy_mul[maxN];
void update(ll x) { //注意块的右端点！！！！for(int i = (x - 1) * m + 1; i <= min(x * m, n); ++ i ) {a[i] = a[i] * lazy_mul[x] % mod + lazy_add[x], a[i] %= mod;}lazy_mul[x] = 1, lazy_add[x] = 0;
}
void add(ll l, ll r, ll val) {if(block[l] == block[r]) {update(block[l]);for(int i = l; i <= r; ++ i ) {a[i] += val, a[i] %= mod;}} else {update(block[l]);for(int i = l; i <= block[l] * m; ++ i ) {a[i] += val, a[i] %= mod;}update(block[r]);for(int i = (block[r] - 1) * m + 1; i <= r; ++ i ) {a[i] += val, a[i] %= mod;}for(int i = block[l] + 1; i <= block[r] - 1; ++ i ) {lazy_add[i] += val, lazy_add[i] %= mod;}}
}
void mul(ll l, ll r, ll val) {if(block[l] == block[r]) {update(block[l]);for(int i = l; i <= r; ++ i ) {a[i] *= val, a[i] %= mod;}} else {update(block[l]);for(int i = l; i <= block[l] * m; ++ i ) {a[i] *= val, a[i] %= mod;}update(block[r]);for(int i = (block[r] - 1) * m + 1; i <= r; ++ i ) {a[i] *= val, a[i] %= mod;}for(int i = block[l] + 1; i <= block[r] - 1; ++ i ) {lazy_mul[i] *= val, lazy_mul[i] %= mod;lazy_add[i] *= val, lazy_add[i] %= mod;}}
}
ll query(ll x) {return (a[x] * lazy_mul[block[x]] % mod + lazy_add[block[x]]) % mod;
}int main()
{n = read(); m = sqrt(n);for(int i = 1; i <= n; ++ i ) {a[i] = read(), a[i] %= mod;block[i] = (i - 1) / m + 1;}for(int i = 1; i <= block[n]; ++ i ) {lazy_mul[i] = 1;}for(int i = 1; i <= n; ++ i ) {ll op, l, r, c;op = read(), l = read(), r = read(), c = read();if(op == 0) {add(l, r, c);} else if(op == 1) {mul(l, r, c);} else {cout << query(r) << endl;}}return 0;
}LOJ #6284. 数列分块入门 8
- 题意：给出一个长为 n 的数列，以及 n 个操作，操作涉及区间询问等于一个数 c 的元素，并将这个区间的所有元素改为 c 。
- 思路：我们lazy标记一个整块的所有元素是否为相同的值。如果不是那就是-1，如果是就记为块中的元素值。
- 对于整块，如果lazy[]==-1，那么就暴力统计答案；否则O(1)统计答案
- 对于非整块，如果lazy[] == -1，那么暴力统计答案；否则O(1)统计答案。但是要注意：如果lazy[] != -1 && lazy[] != c，那么我们需要将该非整块对应的整块之前的lazy处理掉，然后再给非整块中的元素赋值为c。【其实非整块可以直接全部当作lazy[]==-1来做，只需要将整块的lazy处理掉然后处理非整块中的元素即可，但是显然前面分情况的做法要快一些。】
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll ;ll read()
{ll x = 0, f = 1; char c = getchar();while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') f = -f; c = getchar(); }while(c >= '0' && c <= '9') { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }return x * f;
}const int maxN = 100005;
ll n, m, a[maxN], block[maxN], lazy[maxN];void update(ll x) {if(lazy[x] == -1) return ;for(int i = (x - 1) * m + 1; i <= min(x * m, n); ++ i ) {a[i] = lazy[x];}lazy[x] = -1;
}
void incplet(ll l, ll r, ll val, ll &ans) {if(lazy[block[l]] == val) {ans += r - l + 1;} else if(lazy[block[l]] == -1){for(int i = l; i <= r; ++ i ) {if(a[i] == val) {++ ans;} else {a[i] = val;}}} else {update(block[l]);for(int i = l; i <= r; ++ i ) {a[i] = val;}}
}
void cplet(ll x, ll val, ll &ans) {if(lazy[x] == -1) {for(int i = (x - 1) * m + 1; i <= x * m; ++ i ) {if(a[i] == val) ++ ans;else a[i] = val;}lazy[x] = val;} else if(lazy[x] == val) {ans += m;} else {lazy[x] = val;}
}ll solve(ll l, ll r, ll val) {ll ans = 0;if(block[l] == block[r]) {incplet(l, r, val, ans);
// update(block[l]);
// for(int i = l; i <= r; ++ i ) {
// if(a[i] == val) ++ ans;
// else a[i] = val;
// }} else {incplet(l, block[l] * m, val, ans);incplet((block[r] - 1) * m + 1, r, val, ans);
// update(block[l]);
// for(int i = l; i <= block[l] * m; ++ i ) {
// if(a[i] == val) ++ ans;
// else a[i] = val;
// }
// update(block[r]);
// for(int i = (block[r] - 1) * m + 1; i <= r; ++ i ) {
// if(a[i] == val) ++ ans;
// else a[i] = val;
// }for(int i = block[l] + 1; i <= block[r] - 1; ++ i ) {cplet(i, val, ans);}}return ans;
}int main()
{memset(lazy, -1, sizeof(lazy));n = read(); m = sqrt(n);for(int i = 1; i <= n; ++ i ) {a[i] = read();block[i] = (i - 1) / m + 1;}for(int i = 1; i <= n; ++ i ) {ll l, r, c;l = read(), r = read(), c = read();cout << solve(l, r, c) << endl;}return 0;
}【分块入门】LOJ 数列分块入门 1 - 9 (学习更新……)相关推荐
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#6279. 数列分块入门 3 内存限制:256 MiB时间限制:1500 ms标准输入输出 题目类型:传统评测方式:文本比较 上传者: hzwer 提交提交记录统计测试数据讨论 3 题目描述 给出一 ...
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