怎样判断一个数能否被7整除
怎样判断一个数能否被7整除
2010-10-18 17:07:30| 分类: 默认分类 | 标签: |字号大中小 订阅
在掌握了能被2、3、5整除的数的特征之后,判断一个数能否被4、6、8、9整除也就不成问题了,唯独判断一个数能否被7整除有点麻烦。下面介绍几种判断一个数能否被7整除的方法供老师们参考。这些方法各有所长,贵在熟练,不必求全。
1、去尾相加法:一个自然数,去掉它的末位数字之后,再加上末位数字的5倍,如果得数能被7整除,这个自然数就能被7整除。
例 判断1029能否被7整除。
解:去掉1029的末位数字9得102,再加上末位数字9的5倍45得147。继续下去,去掉147的末位数字7得14,再加上末位数字7的5倍35得49。49能被7整除,所以1029能被7整除。
计算过程可以简单记作:1029→102+9×5=147→14+7×5=49。
2、去尾相减法:一个自然数,去掉它的末位数字之后,再减去末位数字的2倍,如果所得的差能被7整除,这个自然数就能被7整除。
例 判断15946能否被7整除。
解:去掉15946的末位数字6得1594,再减去末位数字6的2倍12得1582。继续下去,去掉1582的末位数字2得158,再减去末位数字2的2倍4得154。再继续下去,去掉154的末位数字4得15,再减去末位数字4的2倍8得7。7能被7整除,所以15946能被7整除。
计算过程可以简单记作:15946→1594-6×2=1582→158-2×2=154→15-4×2=7。
3、去头相加法:一个自然数(至少有3位),去掉它的首位数,把首位数的2倍加在其余的数的前两位数上,如果得数能被7整除,这个自然数就能被7整除。
例 判断8134能不能被7整除。
解:去掉8134的首位数8,把8的2倍16加在134的前两位数13上得294。继续下去,去掉294的首位数2,把2的2倍4加在94上得98。98能被7整除,所以8134能被7整除。
计算过程可以简单记作:8134→134+8×20=294→94+2×2=98。(8的2倍是16,为了把它加在134的13上要添一个0。)
4、去头相减法:一个自然数(至少有4位),去掉它的首位数,把首位数从其余的数的左起第三位数中减去,如果得数能被7整除,这个自然数就能被7整除。
例 判断9219能不能被7整除。
解:去掉9219的首位数9得219,从219中减去9得210。210能被7整除,所以9219能被7整除。
计算过程可以简单记作:9219→219-9=210。
5、两段相加法:把一个自然数分成末两位数一段,其余的数一段。计算末两位数那段与其余的数那段的2倍之和。如果得数能被7整除,这个自然数就能被7整除。
例 判断1036能不能被7整除。
解:把1036分成末两位数36和其余的数10两段,36加上10的2倍得56。56能被7整除,所以1036能被7整除。
计算过程可以简单记作:1036→36+10×2=56。
6、两段相减法:把一个自然数分成末三位数一段,其余的数一段。计算末三位数那段与其余的数那段之差。如果得数能被7整除,这个自然数就能被7整除。
例 判断904841能不能被7整除。
解:把904841分成末三位数841和其余的数904两段,904与841的差是63。63能被7整除,所以904841能被7整除。
计算过程可以简单记作:904841→904-841=63。
7、三位分节法:一个自然数从个位向左,3位一节(最后不足3位时也算一节),右起第一节减第二节、加第三节、减第四节、……照这样减加交错,如果得数能被7整除,这个自然数就能被7整除。
例 判断21205219能否被7整除。
解:从21205219的个位向左,3位一节得219、205、21,第一节219减第二节205加第三节21得35。35能被7整除,所以21205219能被7整除。
计算过程可以简单记作:21205219→219-205+21=35。
8、两位分节法:一个自然数从个位向左,2位一节(最后不足2位时也算一节),从右向左逐节依次用1、2、4、1、2、4、……分别乘各节的数再相加,如果得数能被7整除,这个自然数就能被7整除。
例 判断34825能否被7整除。
解:从34825的个位向左,2位一节得25,48,3,逐节依次乘1,2,4得25×1+48×2+3×4=133,继续下去,把133分为33、1得33×1+1×2=35。35能被7整除,所以34825能被7整除。
计算过程可以简单记作:34825→25×1+48×2+3×4=133→33×1+1×2=35。
9、逐位求和法:一个自然数从个位向左,逐位依次用1、3、2、-1、-3、-2、1、3、2、-1、-3、-2、……分别乘各个数位上的数再相加,如果得数能被7整除,这个自然数就能被7整除。
例 判断1743能不能被7整除。
解:1743从个位向左依次是3、4、7、1,逐位依次用1、3、2、-1乘,得3×1+4×3+7×2-1×1=28。28能被7整除,所以1743能被7整除。
计算过程可以简单记作:1743→3×1+4×3+7×2-1×1=28。
例 判断1789756能不能被7整除。
解:1789756从个位向左依次是6、5、7、9、8、7、1,逐位依次用1、3、2、-1、-3、-2、1乘,得6×1+5×3+7×2-9×1-8×3-7×2+1×1=-11。-11不能被7整除,所以1789756不能被7整除。
计算过程可以简单记作:1789756→6×1+5×3+7×2-9×1-8×3-7×2+1×1=-11。
10、减去倍数法:常见的7的倍数有7、14、21、28、35、42、49、56、63、84、91、98、1001等。从一个自然数的任意数位上减去这些倍数,如果余数能被7整除,这个自然数就能被7整除。
比如上面那些例题:
1029 → 28。能被7整除。
减1001
15946 → 1946 → 945 → 35。能被7整除。
减14 减1001 减91
8134 → 126 → 56。能被7整除。
减8008 减7
9219 → 21。能被7整除。
减9009
1036 → 35。能被7整除。
减1001
904841 → 3941 → 938 → 28。能被7整除。
减9009 减3003 减91
21205219 → 205009 → 4809 → 609 → 49。能被7整除。
减21、21 减2002 减42 减56
34825 → 4795 → 791 → 7。能被7整除。
减3003 减4004 减91
1743 → 742 → 0。能被7整除。
减1001 减7、42
1789756 → 788 → 11。不能被7整除。
减1001、7、56 减777
上面这些方法熟练以后可以综合运用,并且过程也可以写得更加简单。
例 判断123456789能不能被7整除。
解:先用“三位分节法”789-456+123=456;再用“减去倍数法”去掉56得4。4不能被7整除,所以123456789不能被7整除。
计算过程可以简单记作:123456789→456→4。
例 判断987653142能不能被7整除。
解:先用“减去倍数法”去掉98、7、42得6531;再用“两段相加法”31+65×2=161;再用“去尾相减法”16-1×2=14。14能被7整除,所以987653142能被7整除。
计算过程可以简单记作:987653142→6531→161→14。
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