数位dp真·浅谈 By cellur925

预警：由于是从$Vergil$学长那里和$Mathison$大神那里学来的，所以清一色记忆化搜索！qwq

巨佬的数位dp讲解（未来的咕咕日报头条）：

https://www.luogu.org/blog/virus2017/shuweidp

数位dp嘛，顾名思义...就是与每个数上的那位有关系...（废话）

一般问题形式都是，在区间$[l,r]$中，满足xx条件的数有多少。然后数据范围一般巨大，枚举是不可能的，这辈子是不可能的。所以一般我们都把它当做字符串处理，预处理出每一位的数（数位），即之后的$border$数组。先求出1~r内满足范围的数，在求出1~l-1范围内的数，运用前缀和的思想一减的。

关于处理成字符串：

一种高精处理方法

        scanf("%s",p+1);int lenp=strlen(p+1);int last=lenp;while(p[last]=='0'&&last) last--;for(int i=last+1;i<=lenp;i++) p[i]='9';p[last]--;for(int i=1;i<=lenp;i++) a[lenp-i+1]=p[i]-'0';memset(dp,-1,sizeof(dp));ans1=dfs(lenp,0,1);scanf("%s",q+1);int lenq=strlen(q+1);for(int i=1;i<=lenq;i++) a[lenq-i+1]=q[i]-'0';memset(dp,-1,sizeof(dp));ans2=dfs(lenq,0,1);printf("%d\n",ans2-ans1);

另一种暴力搞，longlong范围内才可。

        l--;while(l){border[++len]=l%10;l/=10;    }memset(dp,-1,sizeof(dp));ans1=dfs(len,0,1);len=0;while(r){border[++len]=r%10;r/=10;}memset(dp,-1,sizeof(dp));ans2=dfs(len,0,1);len=0;printf("%lld\n",ans2-ans1);

记忆化搜索？其实感觉他是dp的本质吧...（说错了不要打我啊qwq）。搜索我们要遍历所有状态，遍历完就溜，啥也不记下来，没心没肺；dp我们也要遍历全部状态，但是长心眼了，懂得存起来，用空间换时间；然后dp是和记忆化搜索学的，所以记忆化搜索也记录了搜过的状态，当现在搜的之前搜过，就直接调用之前的结果。Update：Vergil学长表示他认为dp的本质是最短路把各状态当作图的节点，然后与开始节点连的边为初始值...

既然我们记搜了，那么肯定我们需要知道每次记录哪些量：一般地，我们会记到$pos$（现在在第几位，个人习惯从右往左为第1位到第$len$位）、$pre$（上一位是哪个数字，用于与上一位有关的情况）、$ling$前导零标记、$limit$最高位标记、$st$是否已经满足要求了，还有其他实际情况需要的。开始从主程序进来的时候，$ling$和$limit$都是1。

图自@Mathison真·大神

另外，当$limit=1$不能记录和调用dp值！当$ling=1$也不能调用记录dp值！

以上是概论，现在分两种题型扯几道例题。

第一种题型：问你数位满足是否有xx数 or 没有xx数

例1 hdu2089不要62

　　　题目大意：问你$[l,r]$中不含4且不含连续62的数的个数。

　　　真·入门题。因为不含，所以只要有4或62连续，之后我们就不用搜了。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4
 5 using namespace std;
 6 typedef long long ll;
 7
 8 int l,r,len;
 9 int border[100];
10 ll ans1,ans2,dp[10][12];
11
12 ll dfs(int pos,int pre,int limit)
13 {
14     if(pos<1) return 1;
15     if(!limit && dp[pos][pre]!=-1) return dp[pos][pre];
16     ll tmp=0;
17     ll lim=limit ? border[pos] : 9;
18     for(int i=0;i<=lim;i++)
19     {
20         if(i==4) continue;
21         if(i==2&&pre==6) continue;
22         tmp+=dfs(pos-1,i,(limit&&i==lim));
23     }
24     if(!limit) dp[pos][pre]=tmp;
25     return tmp;
26 }
27
28 int main()
29 {
30     while(scanf("%d%d",&l,&r)!=EOF&&l!=0&&r!=0)
31     {
32         l--;
33         while(l)
34         {
35             border[++len]=l%10;
36             l/=10;
37         }
38         memset(dp,-1,sizeof(dp));
39         ans1=dfs(len,0,1);
40         len=0;
41
42         while(r)
43         {
44             border[++len]=r%10;
45             r/=10;
46         }
47         memset(dp,-1,sizeof(dp));
48         ans2=dfs(len,0,1);
49         len=0;
50         printf("%lld\n",ans2-ans1);
51     }
52     return 0;
53 }

View Code

例2 hdu3555Bomb

　　　题目大意：问你1~n中含连续49的数的个数。

　　　数位dp入门题。因为题目问的是“含”，所以我们必须记一个$st$，看之前是否满足。这里就不能像上一道题一样不满足直接$continue$掉了。因为之后还有希望满足啊qwq。

 1 //求1~n 含有连续49的数字有多少
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5
 6 using namespace std;
 7 typedef long long ll;
 8
 9 int T,len;
10 int border[200];
11 ll dp[200][13][5];
12 char sta[200];
13
14 ll dfs(int pos,int pre,int st,int limit)
15 {
16     if(pos<1) return st;
17     if(!limit && dp[pos][pre][st]!=-1) return dp[pos][pre][st];
18     ll tmp=0;
19     ll lim=limit ? border[pos] : 9;
20     for(int i=0;i<=lim;i++)
21         tmp+=dfs(pos-1,i,st||(i==9&&pre==4),limit&&i==lim);
22     if(!limit) dp[pos][pre][st]=tmp;
23     return tmp;
24 }
25
26 int main()
27 {
28     scanf("%d",&T);
29     while(T--)
30     {
31         scanf("%s",sta+1);
32         len=strlen(sta+1);
33         for(int i=1;i<=len;i++)
34             border[i]=sta[len-i+1]-'0';
35         memset(dp,-1,sizeof(dp));
36         printf("%lld\n",dfs(len,0,0,1));
37     }
38     return 0;
39 }

View Code

例3 poj3208 Apocalypse Someday

第2种题型：问你数位是否满足一些比较复杂的要求（就不是上面那么简单了）

例1 [SCOI2009]Windy数
例2 [ZJOI2010]数字计数
例3 LuoguP3413萌数
例4 hihocoder#1791幸运数字
例5 bzoj1799[AHOI2009]同类分布
例6 某qbxt测试题

例题会尽量都补上的qwq

关于输出方案：本来想试着输出下方案的，后来发现实际输出的时候其实会少很多。因为我们记忆化！当一个状态下的值已经确定了，我们就不再切身实际地搜，而是直接调用之前结果了，也就方案会少输出了。当然，没记忆化的时候，显然我们可以输出全部方案。

数位dp。。。按Mathison大佬的话，还是非常套路模板化的，唯一要注意的是举一反三和前导零的处理...。

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