最小生成树算法超详细教程

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最小生成树的最著名的算法有两个, 一个是`Prim`算法, 另一个当然就是`Kruskal`算法, 接下来, 我将尽我所能的介绍这两个算法, 也算是对自己学习的一个回顾吧

老规矩, 模板题传送门

首先, 介绍我更喜欢的, 也是相对更容易敲代码的`Kruskal`算法

按照离散数学的定义

> 基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路。> 具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森
林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止。

故我们可以提炼出算法的流程如下

1.将边升序排序
2.判断是否能插入此边,插入后做:1.inc(ans,路径长度)2.合并连通分支

1.对于排序, 可以借助于库函数`sort`

2.对于判断是否可以插入的步骤, 我们的想法是借助于并查集, 如果这条边的两个祖先相同, 那么插入这条边显然会构成环, 故跳过

3.算法结束的标志是加入的边的数目为`n - 1`

算法已经介绍清楚了, 那么下面我们就来考虑一下存储边的`数据结构`, 我们选择了如下所示的结构体数组

struct Edge {int u; //起点int v; //终点int w; //权值
} e[100010];

对于并查集的处理就简单的提一下

1. 初始化

void init() {for (int i = 1; i <= n; i++) {fa[i] = i;}
}

2.寻找祖先的函数, `路径压缩算法`

int find (int x) {return fa[x] == x ? fa[x] : fa[x] = find(fa[x]);
}

3.合并操作, 将两个属于不同集合的顶点合并到同一个集合, 即入赘操作

void union_(int x, int y) {int fx = find(x);int fy = find(y);fa[fx] = fy;
}

感觉也没多少东西, 那就直接贴完整AC代码吧

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
const int MAXN = 100 + 10;
int n, cnt, fa[MAXN], sum, ans;void init() {for (int i = 1; i <= n; i++) {fa[i] = i;}
}int find (int x) {return fa[x] == x ? fa[x] : fa[x] = find(fa[x]);
}void union_(int x, int y) {int fx = find(x);int fy = find(y);fa[fx] = fy;
}struct Edge {int u;int v;int w;
} e[100010];bool cmp (Edge a, Edge b) {return a.w < b.w;
}
//这一题应该采用并查集来判断是否会构成一个环, 然后用一个结构体数组来存储边的信息
int main() {cin >> n;init();int h;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {cin >> h;if (j > i) {//存一半就可以了e[++cnt].u = i;e[cnt].v = j;e[cnt].w = h;}}}sort(e + 1, e + 1 + cnt, cmp);for (int i = 1; i <= cnt; i++) {int u = e[i].u;int v = e[i].v;if (find(u) != find(v)) {union_(u, v);sum++;ans += e[i].w;if (sum == n - 1) {break;}}}cout << ans;return 0;
}

二, `Prime`算法

`Prim`算法也是一个贪心算法, 它和`Kruskal`算法的区别在于`Prim`算法是每次从一个点出发选择当前点的不构成环的最小的边, 而`Kruskal`算法是从全局的角度, 从所有的边中选择不构成环的最小的边, 所以`Prim`算法相对而言复杂一些

很显然, 每次都要从当前的顶点选择最优的边, 那么这就是一个很耗时的操作, 于是我们可以对这一步进行堆优化(其实就是使用`优先队列`)

这个算法的数据结构相对复杂一些, 接下来我来介绍一下

bool vis[MAXN]; //用来判断这个顶点是否访问过struct Edge {int u; //起点int v; //终点int w; //权值bool operator <(const struct Edge& n) const {return w > n.w;} //重载比较运算符, 用于后面的优先队列
};vector <Edge> g[MAXN]; //向量数组, 用于存放每一个顶点所连接的边的信息
priority_queue <Edge> edge; //优先队列不解释

1.读取数据

for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {int w;cin >> w;if (w == 0) continue;g[i].push_back(Edge{i, j, w});}
}

2.以1为起始点, 将其相连边入队

vis[1] = true;
for (int i = 0; i < g[1].size(); i++) {edge.push(g[1][i]);
}

3.执行`Prim`算法, 直到边数为`n - 1`为止

 while (cnt < n - 1){int w = edge.top().w;int v = edge.top().v;edge.pop();if (vis[v]) {//已经访问过了continue;}vis[v] = true;ans += w; //ans是结果cnt++; //cnt是边的计数器for (int i = 0; i < g[v].size(); i++) {if (!vis[g[v][i].v]) {edge.push(g[v][i]);}}
}

完整的代码就不贴了

好了, 今天就分享到这里

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最小生成树算法超详细教程

最小生成树的最著名的算法有两个, 一个是`Prim`算法, 另一个当然就是`Kruskal`算法, 接下来, 我将尽我所能的介绍这两个算法, 也算是对自己学习的一个回顾吧

老规矩, 模板题传送门

首先, 介绍我更喜欢的, 也是相对更容易敲代码的`Kruskal`算法

按照离散数学的定义

故我们可以提炼出算法的流程如下

1.对于排序, 可以借助于库函数`sort`

2.对于判断是否可以插入的步骤, 我们的想法是借助于并查集, 如果这条边的两个祖先相同, 那么插入这条边显然会构成环, 故跳过

3.算法结束的标志是加入的边的数目为`n - 1`

算法已经介绍清楚了, 那么下面我们就来考虑一下存储边的`数据结构`, 我们选择了如下所示的结构体数组

对于并查集的处理就简单的提一下

1. 初始化

2.寻找祖先的函数, `路径压缩算法`

3.合并操作, 将两个属于不同集合的顶点合并到同一个集合, 即入赘操作

感觉也没多少东西, 那就直接贴完整AC代码吧

二, `Prime`算法

`Prim`算法也是一个贪心算法, 它和`Kruskal`算法的区别在于`Prim`算法是每次从一个点出发选择当前点的不构成环的最小的边, 而`Kruskal`算法是从全局的角度, 从所有的边中选择不构成环的最小的边, 所以`Prim`算法相对而言复杂一些

很显然, 每次都要从当前的顶点选择最优的边, 那么这就是一个很耗时的操作, 于是我们可以对这一步进行堆优化(其实就是使用`优先队列`)

这个算法的数据结构相对复杂一些, 接下来我来介绍一下

1.读取数据

2.以1为起始点, 将其相连边入队

3.执行`Prim`算法, 直到边数为`n - 1`为止

完整的代码就不贴了

好了, 今天就分享到这里

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最小生成树的最著名的算法有两个, 一个是Prim算法, 另一个当然就是Kruskal算法, 接下来, 我将尽我所能的介绍这两个算法, 也算是对自己学习的一个回顾吧

老规矩, 模板题传送门

首先, 介绍我更喜欢的, 也是相对更容易敲代码的Kruskal算法

按照离散数学的定义

故我们可以提炼出算法的流程如下

1.对于排序, 可以借助于库函数sort

2.对于判断是否可以插入的步骤, 我们的想法是借助于并查集, 如果这条边的两个祖先相同, 那么插入这条边显然会构成环, 故跳过

3.算法结束的标志是加入的边的数目为n - 1

算法已经介绍清楚了, 那么下面我们就来考虑一下存储边的数据结构, 我们选择了如下所示的结构体数组

对于并查集的处理就简单的提一下

1. 初始化

2.寻找祖先的函数, 路径压缩算法

3.合并操作, 将两个属于不同集合的顶点合并到同一个集合, 即入赘操作

感觉也没多少东西, 那就直接贴完整AC代码吧

二, Prime算法

Prim算法也是一个贪心算法, 它和Kruskal算法的区别在于Prim算法是每次从一个点出发选择当前点的不构成环的最小的边, 而Kruskal算法是从全局的角度, 从所有的边中选择不构成环的最小的边, 所以Prim算法相对而言复杂一些

很显然, 每次都要从当前的顶点选择最优的边, 那么这就是一个很耗时的操作, 于是我们可以对这一步进行堆优化(其实就是使用优先队列)

这个算法的数据结构相对复杂一些, 接下来我来介绍一下

1.读取数据

2.以1为起始点, 将其相连边入队

3.执行Prim算法, 直到边数为n - 1为止

完整的代码就不贴了

好了, 今天就分享到这里

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1.对于排序, 可以借助于库函数`sort`

3.算法结束的标志是加入的边的数目为`n - 1`

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2.寻找祖先的函数, `路径压缩算法`

二, `Prime`算法

`Prim`算法也是一个贪心算法, 它和`Kruskal`算法的区别在于`Prim`算法是每次从一个点出发选择当前点的不构成环的最小的边, 而`Kruskal`算法是从全局的角度, 从所有的边中选择不构成环的最小的边, 所以`Prim`算法相对而言复杂一些

很显然, 每次都要从当前的顶点选择最优的边, 那么这就是一个很耗时的操作, 于是我们可以对这一步进行堆优化(其实就是使用`优先队列`)

3.执行`Prim`算法, 直到边数为`n - 1`为止