不查日历怎么知道任何一天是星期几
不查日历怎么知道任何一天是星期几
作者：刘夙 2004-5-2 1:53:20
博客中国(Blogchina.com)
文／葛民勤
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摘要：
最常见的公式：
W = [Y-1] + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D
Y是年份数，D是这一天在这一年中的累积天数，也就是这一天在这一年中是第几天。
最好用的是蔡勒公式：
W = [C/4] - 2C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1
C是世纪数减一，y是年份后两位，M是月份，d是日数。1月和2月要按上一年的13月和
14月来算，这时C和y均按上一年取值。
两个公式中的[...]均指只取计算结果的整数部分。算出来的W除以7，余数是几就
是星期几。如果余数是0，则为星期日。
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星期制度是一种有古老传统的制度。据说因为《圣经·创世纪》中规定上帝用了六天时间创世纪，第七天休息，所以人们也就以七天为一个周期来安排自己的工作和生活，而星期日是休息日。从实际的角度来讲，以七天为一个周期，长短也比较合适。所以尽管中国的传统工作周期是十天（比如王勃《滕王阁序》中说的“十旬休暇”，即是指官员的工作每十日为一个周期，第十日休假），但后来也采取了西方的星期制度。
在日常生活中，我们常常遇到要知道某一天是星期几的问题。有时候，我们还想知道历史上某一天是星期几。通常，解决这个方法的有效办法是看日历，但是我们总不会随时随身带着日历，更不可能随时随身带着几千年的万年历。假如是想在计算机编程中计算某一天是星期几，预先把一本万年历存进去就更不现实了。这时候是不是有办法通过什么公式，从年月日推出这一天是星期几呢？
答案是肯定的。其实我们也常常在这样做。我们先举一个简单的例子。比如，知道了2004年5月1日是星期六，那么2004年5月31日“世界无烟日”是星期几就不难推算出来。我们可以掰着指头从1日数到31日，同时数星期，最后可以数出5月31日是星期一。
其实运用数学计算，可以不用掰指头。我们知道星期是七天一轮回的，所以5月1日是星期六，七天之后的5月8日也是星期六。在日期上，8-1=7，正是7的倍数。同样，5月15日、5月22日和5月29日也是星期六，它们的日期和5月1日的差值分别是14、21和28，也都是7的倍数。那么5月31日呢？31-1=30，虽然不是7的倍数，但是31除以7，余数为2，这就是说，5月31日的星期，是在5月1日的星期之后两天。星期六之后两天正是星期一。
这个简单的计算告诉我们计算星期的一个基本思路：首先，先要知道在想算的日子之前的一个确定的日子是星期几，拿这一天做为推算的标准，也就是相当于一个计算的“原点”。其次，知道想算的日子和这个确定的日子之间相差多少天，用7除这个日期的差值，余数就表示想算的日子的星期在确定的日子的星期之后多少天。如果余数是0，就表示这两天的星期相同。显然，如果把这个作为“原点”的日子选为星期日，那么余数正好就等于星期几，这样计算就更方便了。
但是直接计算两天之间的天数，还是不免繁琐。比如1982年7月29日和2004年5月1日之间相隔7947天，就不是一下子能算出来的。它包括三段时间：一，1982年7月29日以后这一年的剩余天数；二，1983-2003这二十一个整年的全部天数；三，从2004年元旦到5月1日经过的天数。第二段比较好算，它等于21*365+5=7670天，之所以要加5，是因为这段时间内有5个闰年。第一段和第三段就比较麻烦了，比如第三段，需要把5月之前的四个月的天数累加起来，再加上日期值，即31+29+31+30+1=122天。同理，第一段需要把7月之后的五个月的天数累加起来，再加上7月剩下的天数，一共是155天。
所以总共的相隔天数是122+7670+155=7947天。
仔细想想，如果把“原点”日子的日期选为12月31日，那么第一段时间也就是一个整年，这样一来，第一段时间和第二段时间就可以合并计算，整年的总数正好相当于两个日子的年份差值减一。如果进一步把“原点”日子选为公元前1年12月31日（或者天文学家所使用的公元0年12月31日），这个整年的总数就正好是想算的日子的年份减一。这样简化之后，就只须计算两段时间：一，这么多整年的总天数；二，想算的日子是这一年的第几天。巧的是，按照公历的年月设置，这样反推回去，公元前1年12月31日正好是星期日，也就是说，这样算出来的总天数除以7的余数正好是星期几。那么现在的问题就只有一个：这么多整年里面有多少闰年。这就需要了解公历的置闰规则了。
我们知道，公历的平年是365天，闰年是366天。置闰的方法是能被4整除的年份在2月加一天，但能被100整除的不闰，能被400整除的又闰。因此，像1600、2000、2400年都是闰年，而1700、1800、1900、2100年都是平年。公元前1年，按公历也是闰年。
因此，对于从公元前1年（或公元0年）12月31日到某一日子的年份Y之间的所有整年中的闰年数，就等于
[(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]，
[...]表示只取整数部分。第一项表示需要加上被4整除的年份数，第二项表示需要去掉
被100整除的年份数，第三项表示需要再加上被400整除的年份数。之所以Y要减一，这样，我们就得到了第一个计算某一天是星期几的公式：
W = (Y-1)*365 + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D． (1)
其中D是这个日子在这一年中的累积天数。算出来的W就是公元前1年（或公元0年）12月31日到这一天之间的间隔日数。把W用7除，余数是几，这一天就是星期几。比如我们来算2004年5月1日：
W = (2004-1)*365 + [(2004-1)/4] - [(2004-1)/100] + [(2004-1)/400] +
(31+29+31+30+1)
= 731702，
731702 / 7 = 104528……6，余数为六，说明这一天是星期六。这和事实是符合的。
上面的公式(1)虽然很准确，但是计算出来的数字太大了，使用起来很不方便。仔细想想，其实这个间隔天数W的用处仅仅是为了得到它除以7之后的余数。这启发我们是不是可以简化这个W值，只要找一个和它余数相同的较小的数来代替，用数论上的术语来说，就是找一个和它同余的较小的正整数，照样可以计算出准确的星期数。
显然，W这么大的原因是因为公式中的第一项(Y-1)*365太大了。其实，
(Y-1)*365 = (Y-1) * (364+1)
= (Y-1) * (7*52+1)
= 52 * (Y-1) * 7 + (Y-1)，
这个结果的第一项是一个7的倍数，除以7余数为0，因此(Y-1)*365除以7的余数其实就等于Y-1除以7的余数。这个关系可以表示为：
(Y-1)*365 ≡ Y-1 (mod 7)．
其中，≡是数论中表示同余的符号，mod 7的意思是指在用7作模数（也就是除数）的情况下≡号两边的数是同余的。因此，完全可以用(Y-1)代替(Y-1)*365，这样我们就得到了那个著名的、也是最常见到的计算星期几的公式：
W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D． (2)
这个公式虽然好用多了，但还不是最好用的公式，因为累积天数D的计算也比较麻烦。是不是可以用月份数和日期直接计算呢？答案也是肯定的。我们不妨来观察一下各个月的日数，列表如下：
月 份：1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
--------------------------------------------------------------------------
天 数： 31 28(29) 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31
如果把这个天数都减去28（=4*7），不影响W除以7的余数值。这样我们就得到另一张表：
月 份：1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
------------------------------------------------------------------------
剩余天数： 3 0(1) 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3
平年累积： 3 3 6 8 11 13 16 19 21 24 26 29
闰年累积： 3 4 7 9 12 14 17 20 22 25 27 30
仔细观察的话，我们会发现除去1月和2月，3月到7月这五个月的剩余天数值是3,2,3,2,3；8月到12月这五个月的天数值也是3,2,3,2,3，正好是一个重复。相应的累积天数中，后一月的累积天数和前一月的累积天数之差减去28就是这个重复。正是因为这种规律的存在，平年和闰年的累积天数可以用数学公式很方便地表达：
╭ d； （当M＝1）
D = { 31 + d； （当M＝2） (3)
╰ [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d + i． （当M≥3）
其中[...]仍表示只取整数部分；M和d分别是想算的日子的月份和日数；平年i=0，闰年i=1。对于M≥3的表达式需要说明一下：[13*(M+1)/5]-7算出来的就是上面第二个表中的平年累积值，再加上(M-1)*28就是想算的日子的月份之前的所有月份的总天数。这是一个很巧妙的办法，利用取整运算来实现3,2,3,2,3的循环。比如，对2004年5月1日，有：
D = [ 13 * (5+1) / 5 ] - 7 + (5-1) * 28 + 1 + 1
= 122，
这正是5月1日在2004年的累积天数。
假如，我们再变通一下，把1月和2月当成是上一年的“13月”和“14月”，不仅仍然符合这个公式，而且因为这样一来，闰日成了上一“年”（一共有14个月）的最后一天，成了d的一部分，于是平闰年的影响也去掉了，公式就简化成：
D = [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d． （3≤M≤14） (4)
上面计算星期几的公式，也就可以进一步简化成：
W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7
+ (M-1) * 28 + d．
因为其中的-7和(M-1)*28两项都可以被7整除，所以去掉这两项，W除以7的余数不变，公式变成：
W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] + d．
(5)
当然，要注意1月和2月已经被当成了上一年的13月和14月，因此在计算1月和2月的日子的星期时，除了M要按13或14算，年份Y也要减一。比如，2004年1月1日是星期四，用这个公式来算，有：
W = (2003-1) + [(2003-1)/4] - [(2003-1)/100] + [(2003-1)/400] + [13*(13+1)/5]
+ 1
= 2002 + 500 - 20 + 5 + 36 + 1
= 2524；
2524 / 7 = 360……4．这和实际是一致的。
公式(5)已经是从年、月、日来算星期几的公式了，但它还不是最简练的，对于年份的处理还有改进的方法。我们先来用这个公式算出每个世纪第一年3月1日的星期，列表如下：
年份： 1(401,801,…,2001) 101(501,901,…,2101)
--------------------------------------------------------------------
星期： 4 2
====================================================================
年份：201(601,1001,…,2201) 301(701,1101,…,2301)
--------------------------------------------------------------------
星期： 0 5
可以看出，每隔四个世纪，这个星期就重复一次。假如我们把301(701,1101,…,2301)年3月1日的星期数看成是-2（按数论中对余数的定义，-2和5除以7的余数相同，所以可以做这样的变换），那么这个重复序列正好就是一个4,2,0,-2的等差数列。据此，我们可以得到下面的计算每个世纪第一年3月1日的星期的公式：
W = (4 - C mod 4) * 2 - 4． (6)
式中，C是该世纪的世纪数减一，mod表示取模运算，即求余数。比如，对于2001年3月1日，C=20，则：
W = (4 - 20 mod 4) * 2 - 4
= 8 - 4
= 4．
把公式(6)代入公式(5)，经过变换，可得：
(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] ≡ (4 - C mod 4) * 2 - 1
(mod 7)． (7)
因此，公式(5)中的(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]这四项，在计算
每个世纪第一年的日期的星期时，可以用(4 - C mod 4) * 2 - 1来代替。这个公式写出来就是：
W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + [13 * (M+1) / 5] + d． (8)
有了计算每个世纪第一年的日期星期的公式，计算这个世纪其他各年的日期星期的公式就很容易得到了。因为在一个世纪里，末尾为00的年份是最后一年，因此就用不着再考虑“一百年不闰，四百年又闰”的规则，只须考虑“四年一闰”的规则。仿照由公式(1)简化为公式(2)的方法，我们很容易就可以从式(8)得到一个比公式(5)更简单的计算任意一天是星期几的公式：
W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + (y-1) + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d． (9)
式中，y是年份的后两位数字。
如果再考虑到取模运算不是四则运算，我们还可以把(4 - C mod 4) * 2进一步改写成只含四则运算的表达式。因为世纪数减一C除以4的商数q和余数r之间有如下关系：
4q + r = C，
其中r即是 C mod 4，因此，有：
r = C - 4q
= C - 4 * [C/4]． (10)
则
(4 - C mod 4) * 2 ＝ (4 - C + 4 * [C/4]) * 2
＝ 8 - 2C + 8 * [C/4]
≡ [C/4] - 2C + 1 (mod 7)． (11)
把式(11)代入(9)，得到：
W = [C/4] - 2C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1． (12)
这个公式由世纪数减一、年份末两位、月份和日数即可算出W，再除以7，得到的余数是几就表示这一天是星期几，唯一需要变通的是要把1月和2月当成上一年的13月和14月，C和y都按上一年的年份取值。因此，人们普遍认为这是计算任意一天是星期几的最好的公式。这个公式最早是由德国数学家克里斯蒂安·蔡勒（Christian Zeller, 1822-
1899）在1886年推导出的，因此通称为蔡勒公式（Zeller’s Formula）。为方便口算，式中的[13 * (M+1) / 5]也往往写成[26 * (M+1) / 10]。
现在仍然让我们来算2004年5月1日的星期，显然C=20，y=4，M=5，d=1，代入蔡勒公式，有：
W = [20/4] - 40 + 4 + 1 + [13 * (5+1) / 5] + 1 - 1
= -15．
注意负数不能按习惯的余数的概念求余数，只能按数论中的余数的定义求余。为了方便计算，我们可以给它加上一个7的整数倍，使它变为一个正数，比如加上70，得到55。再除以7，余6，说明这一天是星期六。这和实际是一致的，也和公式(2)计算所得的结果一致。
最后需要说明的是，上面的公式都是基于公历（格里高利历）的置闰规则来考虑的。对于儒略历，蔡勒也推出了相应的公式是：
W = 5 - C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1． (13)
这样，我们终于一劳永逸地解决了不查日历计算任何一天是星期几的问题。
2004年5月2日初稿
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fsc518 于 2004-8-1 21:51:29写道：
已知：2004年M月D日是星期N,问10后、100年后、1000年后、10000年后的M月D日是星期几？
上面的公式(1)虽然很准确，但是计算出来的数字太大了，使用起来很不方便。仔细想想，其实这个间隔天数W的用处仅仅是为了得到它除以7之后的余数。这启发我们是不是可以简化这个W值，只要找一个和它余数相同的较小的数来代替，用数论上的术语来说，就是找一个和它同余的较小的正整数，照样可以计算出准确的星期数。
显然，W这么大的原因是因为公式中的第一项(Y-1)*365太大了。其实，
(Y-1)*365 = (Y-1) * (364+1)
= (Y-1) * (7*52+1)
= 52 * (Y-1) * 7 + (Y-1)，
这个结果的第一项是一个7的倍数，除以7余数为0，因此(Y-1)*365除以7的余数其实就等于Y-1除以7的余数。这个关系可以表示为：
(Y-1)*365 ≡ Y-1 (mod 7)．
其中，≡是数论中表示同余的符号，mod 7的意思是指在用7作模数（也就是除数）的情况下≡号两边的数是同余的。因此，完全可以用(Y-1)代替(Y-1)*365，这样我们就得到了那个著名的、也是最常见到的计算星期几的公式：
W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D． (2)
这个公式虽然好用多了，但还不是最好用的公式，因为累积天数D的计算也比较麻烦。是不是可以用月份数和日期直接计算呢？答案也是肯定的。我们不妨来观察一下各个月的日数，列表如下：
月 份：1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
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天 数： 31 28(29) 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31
如果把这个天数都减去28（=4*7），不影响W除以7的余数值。这样我们就得到另一张表：
月 份：1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
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剩余天数： 3 0(1) 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3
平年累积： 3 3 6 8 11 13 16 19 21 24 26 29
闰年累积： 3 4 7 9 12 14 17 20 22 25 27 30
仔细观察的话，我们会发现除去1月和2月，3月到7月这五个月的剩余天数值是3,2,3,2,3；8月到12月这五个月的天数值也是3,2,3,2,3，正好是一个重复。相应的累积天数中，后一月的累积天数和前一月的累积天数之差减去28就是这个重复。正是因为这种规律的存在，平年和闰年的累积天数可以用数学公式很方便地表达：
╭ d； （当M＝1）
D = { 31 + d； （当M＝2） (3)
╰ [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d + i． （当M≥3）
其中[...]仍表示只取整数部分；M和d分别是想算的日子的月份和日数；平年i=0，闰年i=1。对于M≥3的表达式需要说明一下：[13*(M+1)/5]-7算出来的就是上面第二个表中的平年累积值，再加上(M-1)*28就是想算的日子的月份之前的所有月份的总天数。这是一个很巧妙的办法，利用取整运算来实现3,2,3,2,3的循环。比如，对2004年5月1日，有：
D = [ 13 * (5+1) / 5 ] - 7 + (5-1) * 28 + 1 + 1
= 122，
这正是5月1日在2004年的累积天数。
假如，我们再变通一下，把1月和2月当成是上一年的“13月”和“14月”，不仅仍然符合这个公式，而且因为这样一来，闰日成了上一“年”（一共有14个月）的最后一天，成了d的一部分，于是平闰年的影响也去掉了，公式就简化成：
D = [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d． （3≤M≤14） (4)
上面计算星期几的公式，也就可以进一步简化成：
W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7
+ (M-1) * 28 + d．
因为其中的-7和(M-1)*28两项都可以被7整除，所以去掉这两项，W除以7的余数不变，公式变成：
W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] + d．
(5)
当然，要注意1月和2月已经被当成了上一年的13月和14月，因此在计算1月和2月的日子的星期时，除了M要按13或14算，年份Y也要减一。比如，2004年1月1日是星期四，用这个公式来算，有：
W = (2003-1) + [(2003-1)/4] - [(2003-1)/100] + [(2003-1)/400] + [13*(13+1)/5]
+ 1
= 2002 + 500 - 20 + 5 + 36 + 1
= 2524；
2524 / 7 = 360……4．这和实际是一致的。
公式(5)已经是从年、月、日来算星期几的公式了，但它还不是最简练的，对于年份的处理还有改进的方法。我们先来用这个公式算出每个世纪第一年3月1日的星期，列表如下：
年份： 1(401,801,…,2001) 101(501,901,…,2101)
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星期： 4 2
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年份：201(601,1001,…,2201) 301(701,1101,…,2301)
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星期： 0 5
可以看出，每隔四个世纪，这个星期就重复一次。假如我们把301(701,1101,…,2301)年3月1日的星期数看成是-2（按数论中对余数的定义，-2和5除以7的余数相同，所以可以做这样的变换），那么这个重复序列正好就是一个4,2,0,-2的等差数列。据此，我们可以得到下面的计算每个世纪第一年3月1日的星期的公式：
W = (4 - C mod 4) * 2 - 4． (6)
式中，C是该世纪的世纪数减一，mod表示取模运算，即求余数。比如，对于2001年3月1日，C=20，则：
W = (4 - 20 mod 4) * 2 - 4
= 8 - 4
= 4．
把公式(6)代入公式(5)，经过变换，可得：
(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] ≡ (4 - C mod 4) * 2 - 1
(mod 7)． (7)
因此，公式(5)中的(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]这四项，在计算
每个世纪第一年的日期的星期时，可以用(4 - C mod 4) * 2 - 1来代替。这个公式写出来就是：
W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + [13 * (M+1) / 5] + d． (8)
有了计算每个世纪第一年的日期星期的公式，计算这个世纪其他各年的日期星期的公式就很容易得到了。因为在一个世纪里，末尾为00的年份是最后一年，因此就用不着再考虑“一百年不闰，四百年又闰”的规则，只须考虑“四年一闰”的规则。仿照由公式(1)简化为公式(2)的方法，我们很容易就可以从式(8)得到一个比公式(5)更简单的计算任意一天是星期几的公式：
W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + (y-1) + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d． (9)
式中，y是年份的后两位数字。
如果再考虑到取模运算不是四则运算，我们还可以把(4 - C mod 4) * 2进一步改写成只含四则运算的表达式。因为世纪数减一C除以4的商数q和余数r之间有如下关系：
4q + r = C，
其中r即是 C mod 4，因此，有：
r = C - 4q
= C - 4 * [C/4]． (10)
则
(4 - C mod 4) * 2 ＝ (4 - C + 4 * [C/4]) * 2
＝ 8 - 2C + 8 * [C/4]
≡ [C/4] - 2C + 1 (mod 7)． (11)
把式(11)代入(9)，得到：
W = [C/4] - 2C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1． (12)
这个公式由世纪数减一、年份末两位、月份和日数即可算出W，再除以7，得到的余数是几就表示这一天是星期几，唯一需要变通的是要把1月和2月当成上一年的13月和14月，C和y都按上一年的年份取值。因此，人们普遍认为这是计算任意一天是星期几的最好的公式。这个公式最早是由德国数学家克里斯蒂安·蔡勒（Christian Zeller, 1822-
1899）在1886年推导出的，因此通称为蔡勒公式（Zeller’s Formula）。为方便口算，式中的[13 * (M+1) / 5]也往往写成[26 * (M+1) / 10]。
现在仍然让我们来算2004年5月1日的星期，显然C=20，y=4，M=5，d=1，代入蔡勒公式，有：
W = [20/4] - 40 + 4 + 1 + [13 * (5+1) / 5] + 1 - 1
= -15．
注意负数不能按习惯的余数的概念求余数，只能按数论中的余数的定义求余。为了方便计算，我们可以给它加上一个7的整数倍，使它变为一个正数，比如加上70，得到55。再除以7，余6，说明这一天是星期六。这和实际是一致的，也和公式(2)计算所得的结果一致。
最后需要说明的是，上面的公式都是基于公历（格里高利历）的置闰规则来考虑的。对于儒略历，蔡勒也推出了相应的公式是：
W = 5 - C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1． (13)
这样，我们终于一劳永逸地解决了不查日历计算任何一天是星期几的问题。
2004年5月2日初稿
【声明】博客中国刊载此文不代表同意其说法或描述，仅为提供更多信息，也不构成任何投资建议。转载请注明出处。
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fsc518 于 2004-8-1 21:51:29写道：
已知：2004年M月D日是星期N,问10后、100年后、1000年后、10000年后的M月D日是星期几？
上面的公式(1)虽然很准确，但是计算出来的数字太大了，使用起来很不方便。仔
细想想，其实这个间隔天数W的用处仅仅是为了得到它除以7之后的余数。这启发我们是
不是可以简化这个W值，只要找一个和它余数相同的较小的数来代替，用数论上的术语
来说，就是找一个和它同余的较小的正整数，照样可以计算出准确的星期数。
显然，W这么大的原因是因为公式中的第一项(Y-1)*365太大了。其实，
(Y-1)*365 = (Y-1) * (364+1)
= (Y-1) * (7*52+1)
= 52 * (Y-1) * 7 + (Y-1)，
这个结果的第一项是一个7的倍数，除以7余数为0，因此(Y-1)*365除以7的余数其实就
等于Y-1除以7的余数。这个关系可以表示为：
(Y-1)*365 ≡ Y-1 (mod 7)．
其中，≡是数论中表示同余的符号，mod 7的意思是指在用7作模数（也就是除数）的情
况下≡号两边的数是同余的。因此，完全可以用(Y-1)代替(Y-1)*365，这样我们就得到
了那个著名的、也是最常见到的计算星期几的公式：
W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D． (2)
这个公式虽然好用多了，但还不是最好用的公式，因为累积天数D的计算也比较麻
烦。是不是可以用月份数和日期直接计算呢？答案也是肯定的。我们不妨来观察一下各
个月的日数，列表如下：
月 份：1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
--------------------------------------------------------------------------
天 数： 31 28(29) 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31
如果把这个天数都减去28（=4*7），不影响W除以7的余数值。这样我们就得到另一张
表：
月 份：1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
------------------------------------------------------------------------
剩余天数： 3 0(1) 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3
平年累积： 3 3 6 8 11 13 16 19 21 24 26 29
闰年累积： 3 4 7 9 12 14 17 20 22 25 27 30
仔细观察的话，我们会发现除去1月和2月，3月到7月这五个月的剩余天数值是3,2,3,2,
3；8月到12月这五个月的天数值也是3,2,3,2,3，正好是一个重复。相应的累积天数中，
后一月的累积天数和前一月的累积天数之差减去28就是这个重复。正是因为这种规律的
存在，平年和闰年的累积天数可以用数学公式很方便地表达：
╭ d； （当M＝1）
D = { 31 + d； （当M＝2） (3)
╰ [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d + i． （当M≥3）
其中[...]仍表示只取整数部分；M和d分别是想算的日子的月份和日数；平年i=0，闰年
i=1。对于M≥3的表达式需要说明一下：[13*(M+1)/5]-7算出来的就是上面第二个表中的
平年累积值，再加上(M-1)*28就是想算的日子的月份之前的所有月份的总天数。这是一
个很巧妙的办法，利用取整运算来实现3,2,3,2,3的循环。比如，对2004年5月1日，有：
D = [ 13 * (5+1) / 5 ] - 7 + (5-1) * 28 + 1 + 1
= 122，
这正是5月1日在2004年的累积天数。
假如，我们再变通一下，把1月和2月当成是上一年的“13月”和“14月”，不仅仍
然符合这个公式，而且因为这样一来，闰日成了上一“年”（一共有14个月）的最后一
天，成了d的一部分，于是平闰年的影响也去掉了，公式就简化成：
D = [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d． （3≤M≤14） (4)
上面计算星期几的公式，也就可以进一步简化成：
W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7
+ (M-1) * 28 + d．
因为其中的-7和(M-1)*28两项都可以被7整除，所以去掉这两项，W除以7的余数不变，
公式变成：
W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] + d．
(5)
当然，要注意1月和2月已经被当成了上一年的13月和14月，因此在计算1月和2月的日子
的星期时，除了M要按13或14算，年份Y也要减一。比如，2004年1月1日是星期四，用这
个公式来算，有：
W = (2003-1) + [(2003-1)/4] - [(2003-1)/100] + [(2003-1)/400] + [13*(13+1)/5]
+ 1
= 2002 + 500 - 20 + 5 + 36 + 1
= 2524；
2524 / 7 = 360……4．这和实际是一致的。
公式(5)已经是从年、月、日来算星期几的公式了，但它还不是最简练的，对于年
份的处理还有改进的方法。我们先来用这个公式算出每个世纪第一年3月1日的星期，列
表如下：
年份： 1(401,801,…,2001) 101(501,901,…,2101)
--------------------------------------------------------------------
星期： 4 2
====================================================================
年份：201(601,1001,…,2201) 301(701,1101,…,2301)
--------------------------------------------------------------------
星期： 0 5
可以看出，每隔四个世纪，这个星期就重复一次。假如我们把301(701,1101,…,2301)
年3月1日的星期数看成是-2（按数论中对余数的定义，-2和5除以7的余数相同，所以可
以做这样的变换），那么这个重复序列正好就是一个4,2,0,-2的等差数列。据此，我们
可以得到下面的计算每个世纪第一年3月1日的星期的公式：
W = (4 - C mod 4) * 2 - 4． (6)
式中，C是该世纪的世纪数减一，mod表示取模运算，即求余数。比如，对于2001年3月
1日，C=20，则：
W = (4 - 20 mod 4) * 2 - 4
= 8 - 4
= 4．
把公式(6)代入公式(5)，经过变换，可得：
(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] ≡ (4 - C mod 4) * 2 - 1
(mod 7)． (7)
因此，公式(5)中的(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]这四项，在计算
每个世纪第一年的日期的星期时，可以用(4 - C mod 4) * 2 - 1来代替。这个公式写
出来就是：
W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + [13 * (M+1) / 5] + d． (8)
有了计算每个世纪第一年的日期星期的公式，计算这个世纪其他各年的日期星期的公式
就很容易得到了。因为在一个世纪里，末尾为00的年份是最后一年，因此就用不着再考
虑“一百年不闰，四百年又闰”的规则，只须考虑“四年一闰”的规则。仿照由公式(1)
简化为公式(2)的方法，我们很容易就可以从式(8)得到一个比公式(5)更简单的计算任意
一天是星期几的公式：
W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + (y-1) + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d． (9)
式中，y是年份的后两位数字。
如果再考虑到取模运算不是四则运算，我们还可以把(4 - C mod 4) * 2进一步改写
成只含四则运算的表达式。因为世纪数减一C除以4的商数q和余数r之间有如下关系：
4q + r = C，
其中r即是 C mod 4，因此，有：
r = C - 4q
= C - 4 * [C/4]． (10)
则
(4 - C mod 4) * 2 ＝ (4 - C + 4 * [C/4]) * 2
＝ 8 - 2C + 8 * [C/4]
≡ [C/4] - 2C + 1 (mod 7)． (11)
把式(11)代入(9)，得到：
W = [C/4] - 2C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1． (12)
这个公式由世纪数减一、年份末两位、月份和日数即可算出W，再除以7，得到的余数是
几就表示这一天是星期几，唯一需要变通的是要把1月和2月当成上一年的13月和14月，
C和y都按上一年的年份取值。因此，人们普遍认为这是计算任意一天是星期几的最好的
公式。这个公式最早是由德国数学家克里斯蒂安·蔡勒（Christian Zeller, 1822-
1899）在1886年推导出的，因此通称为蔡勒公式（Zeller’s Formula）。为方便口算，
式中的[13 * (M+1) / 5]也往往写成[26 * (M+1) / 10]。
现在仍然让我们来算2004年5月1日的星期，显然C=20，y=4，M=5，d=1，代入蔡勒
公式，有：
W = [20/4] - 40 + 4 + 1 + [13 * (5+1) / 5] + 1 - 1
= -15．
注意负数不能按习惯的余数的概念求余数，只能按数论中的余数的定义求余。为了方便
计算，我们可以给它加上一个7的整数倍，使它变为一个正数，比如加上70，得到55。
再除以7，余6，说明这一天是星期六。这和实际是一致的，也和公式(2)计算所得的结
果一致。
最后需要说明的是，上面的公式都是基于公历（格里高利历）的置闰规则来考虑
的。对于儒略历，蔡勒也推出了相应的公式是：
W = 5 - C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1． (13)
这样，我们终于一劳永逸地解决了不查日历计算任何一天是星期几的问题。
2004年5月2日初稿
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fsc518 于 2004-8-1 21:51:29写道：
已知：2004年M月D日是星期N,问10后、100年后、1000年后、10000年后的M月D日是星期几？
IP: 61.145.128.*
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fsc518 于 2004-8-1 21:51:20写道：
已知：2004年M月D日是星期N,问10后、100年后、1000年后、10000年后的M月D日是星期几？
IP: 61.145.128.*
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fsc518 于 2004-7-28 16:27:17写道：
祝葛先生生日快乐！望葛先生富有创意的、脍炙人口的作出不断涌现出来，以启迪广大科普爱好者的思维、拓展广大科普爱好者的视野。
IP: 218.18.37.*
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fsc518 于 2004-7-21 19:52:32写道：
以葛先生的生日1982年7月29日为例，采用笔者给出的公式：
w=[y/4]+ r(y/7)-2r(c/4)+m’+d
=[82/4] + r(82/7)-2r(19/4)+7’+29
=20+5-2*3+5+29=53 （除以7余4）
即诸葛先生出生的那一天是星期四。
W(2004,7,29)=39（除以7余4）
即诸葛先生今年的生日也是星期四.同理，诸葛先生明年的生日则是星期五。
需要指出的是，用笔者给出的公式，只需稍加训练 ，即可用心算——而且在大多数情况下几秒钟就能搞定（而用蔡勒公式进行心算是非常困难的）。
欢迎批评指正。Email:fsc518@126.com。
冯思琮2004年7月21日
IP: 218.18.150.*
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fsc518 于 2004-7-19 9:22:25写道：
若采用本人给出的公式：
w=[y/4]+r (y/7)-2r(c/4)+m’+d
= [97/4]+r (97/7)-2r(19/4)+7’+1
=24+6-2*3+5+1
=30 (除以7余2)
即1997年7月1日是星期二。
请登陆www.tom.com、中国科普博览、www.xilu.com之科普论坛阅读本人的文章“自己就是一本活日历--对蔡勒（Zeller）公式的改进”及“n阶（n为大于等于7的素数）立体幻方的一种独特构造方法”。请联系本人，Email:fsc518@126.com.
【在aulian 的大作中提到：】好文！
以前我也研究过这个问题，不过还不如那个“最常见的公式”好用呢
献个丑吧
以1997
★★★
IP: 61.145.129.*
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fsc518 于 2004-7-18 21:58:55写道：
请通过www.google.com搜索“科普论坛”选择www.tom.com或中国科普博览之科普论坛阅读本人的文章“自己就是一本活日历---对蔡勒（Zeler）公式的改进”。Email:fsc518@126.com,欢迎联系。
IP: 218.18.151.*
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aulian 于 2004-5-9 12:16:28写道：
好文！
以前我也研究过这个问题，不过还不如那个“最常见的公式”好用呢
献个丑吧
以1997年7月1日为例
(1)取97。
(2)用第(1)步的值除以4，仅保留结果的整数部分留用，不考虑余数。
97/4=24…1
(3)查月份表，找到7月对应的数是0。
(4)把日子与前三步的数加数，如1+97+24+0=122。
(5)用第(4)步算得的值除以7，保留余数留用。
如122/7=17…3
(6)查年份表，把对应的数加上第五步的余数
如0+3=3
(7)查星期表，即对应星期
附：月份表
1月 1（闰 0）
2月 4（闰 3）
3月 4
4月 0
5月 2
6月 5
7月 0
8月 3
9月 6
10月 1
11月 4
12月 6
年份表
1900-1999 0
2000-2099 -1
星期表
1 星期日
2 星期一
3 星期二
4 星期三
5 星期四
6 星期五
7 星期六
0 星期六
★★★★
IP: 218.12.209.*
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chinablogger 于 2004-5-5 14:45:11写道：
我同意dumbo
是的]
中国人就喜欢搞这一套！
何时也来个改革？期盼！
★
IP: 210.29.158.*
引用并回复此留言
胡喊三 于 2004-5-5 10:52:18写道：
不错,
我觉得一个公式这样推理下来让人很容易接受,
如果我们大学里的数学课程能够这样的话就好了.
其实中国的教育缺的就是这个,
试着找本书看看就知道.
这样的教程是自学的好帮手!
鼓励....
★★★★
IP: 218.75.208.*
引用并回复此留言
newguyer 于 2004-5-4 19:19:20写道：
趣味数学
可惜博客中国的人大多数过于浮躁，没有可能静下心来学习这些东西
原来以为博客中国上面什么都谈，后来才发现，他们只喜欢说IT,然后又万分小心的涉及政治，永远没有可能是综合的。。。。。。。
IP: 218.75.131.*
引用并回复此留言
www.6pm.com 于 2004-5-4 18:58:36写道：
其实有一个更简单的办法。看了这篇文章后我放心了。
IP: 218.79.20.*
引用并回复此留言
dumbo 于 2004-5-4 18:17:55写道：
这个帖子恐怕是贴错地方了，放在CSDN上支持的人会多。博客中国上真懂技术的没有几个人，所以大多数人不知道这个公式有什么意义。联想到前一段时间的WAPI争论，发现中国人一见到什么事，不是先想技术，而是先想政治。并且不懂的人发言，懂的人沉默，可谓中国特色。
IP: 61.48.32.*
引用并回复此留言
胜昌镐 于 2004-5-3 23:25:02写道：
何必故作高深,搞得那么复杂？看看日历不就得了。
★★
IP: 211.141.95.*
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lumg 于 2004-5-2 18:36:44写道：
没有任何实用价值！也许向别人吹吹牛还可以
★
IP: 211.67.30.*
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zm118 于 2004-5-2 9:22:23写道：
有日历干吗不查？
IP: 220.187.128.*
引用并回复此留言
Janada 于 2004-5-2 9:02:57写道：
还不如查日历简单！不用Google怎么知道你要的网页在哪里？
IP: 61.49.99.*
引用并回复此留言
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