四种二维傅里叶变换对

本文参考这篇文章

1807年，法国数学家、物理学家傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier）提出了傅里叶变换（Fourier Transform, FT）。

傅里叶变换是可以推广到2维甚至更高的维度的，我们通常常用二维的就够了，因为图像常被考虑为二维离散数据。根据二维数据的连续/离散（continuous， discrete）和周期/非周期（Aperiodic ，periodic），二维FT可以分为四种：

连续非周期信号—>频谱也是连续非周期
F(u,v)=∫−∞+∞∫−∞+∞f(x,y)e−j2π(ux+vy)dxdyF(u,v)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)e^{-j2\pi(ux+vy)}dxdyF(u,v)=∫−∞+∞∫−∞+∞f(x,y)e−j2π(ux+vy)dxdy
f(x,y)=∫−∞+∞∫−∞+∞F(u,v)ej2π(ux+vy)dudvf(x,y)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}F(u,v)e^{j2\pi(ux+vy)}dudvf(x,y)=∫−∞+∞∫−∞+∞F(u,v)ej2π(ux+vy)dudv
u是x方向的空间频率，v是y方向的空间频率，F(u,v)是二维频谱。

逆变换的物理意义：原信号f(x,y)f(x,y)f(x,y)是复指数ej2π(ux+vy)e^{j2\pi(ux+vy)}ej2π(ux+vy)的线性组合，权重是复数F(u,v)F(u,v)F(u,v)

连续周期信号—>频谱也是离散非周期
F(k,l)=1XY∫0X∫0YfXY(x,y)ej2π(kxu0+lyv0)dxdyF(k,l)=\frac{1}{XY}\int_{0}^{X}\int_{0}^{Y}f_{XY}(x,y)e^{j2\pi(kxu_0+lyv_0)}dxdyF(k,l)=XY1∫0X∫0YfXY(x,y)ej2π(kxu0+lyv0)dxdy
fXY(x,y)=∑k=−∞+∞∑l=−∞+∞F(k,l)e−j2π(kxu0+lyv0)f_{XY}(x,y)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\sum_{l=-\infty}^{+\infty}F(k,l)e^{-j2\pi(kxu_0+lyv_0)}fXY(x,y)=k=−∞∑+∞l=−∞∑+∞F(k,l)e−j2π(kxu0+lyv0)

X,Y是信号在两个方向的周期，u0=1X,v0=1Yu_0=\frac1X,v_0=\frac1Yu0=X1,v0=Y1是频谱F(k,l)F(k,l)F(k,l)的连续采样的间隔。

离散非周期信号—>频谱也是连续周期

F(u,v)=∑m=−∞+∞∑n=−∞+∞f[m,n]e−j2π(umx0+vny0)F(u,v)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f[m,n]e^{-j2\pi(umx_0+vny_0)}F(u,v)=m=−∞∑+∞n=−∞∑+∞f[m,n]e−j2π(umx0+vny0)
f[m,n]=1UV∫0U∫0VF(u,v)ej2π(umx0+vny0)dudvf[m,n]=\frac{1}{UV}\int_{0}^{U}\int_{0}^{V}F(u,v)e^{j2\pi(umx_0+vny_0)}dudvf[m,n]=UV1∫0U∫0VF(u,v)ej2π(umx0+vny0)dudv
x0和y0x_0和y_0x0和y0分别是x,y方向的连续采样的空间间隔，U=1x0,V=1y0是频谱F(u，v)U=\frac{1}{x_0},V=\frac{1}{y_0}是频谱F(u，v)U=x01,V=y01是频谱F(u，v)的周期，也是两个方向的采样率。

离散周期信号—>频谱也是离散周期（已归一化）
F[k,l]=1MN∑n=0N−1∑m=0M−1f[m,n]e−j2π(mkM+nlN)F[k,l]=\frac{1}{\sqrt{MN}}\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{m=0}^{M-1}f[m,n]e^{-j2\pi(\frac{mk}{M}+\frac{nl}{N})}F[k,l]=MN1n=0∑N−1m=0∑M−1f[m,n]e−j2π(Mmk+Nnl)
f[m,n]=1MN∑l=0N−1∑k=0M−1F[k,l]ej2π(mkM+nlN)f[m,n]=\frac{1}{\sqrt{MN}}\sum_{l=0}^{N-1}\sum_{k=0}^{M-1}F[k,l]e^{j2\pi(\frac{mk}{M}+\frac{nl}{N})}f[m,n]=MN1l=0∑N−1k=0∑M−1F[k,l]ej2π(Mmk+Nnl)
0≤m,k≤M−1,0≤n,l≤N−10\leq m,k \leq M-1,0\leq n,l \leq N-1 0≤m,k≤M−1,0≤n,l≤N−1
M,N分别是空域的x,y方向的采样点数，也是频域的x,y方向的采样点数。
M=X/x0=U/u0,N=Y/y0=V/v0M=X/x_0=U/u_0,N=Y/y_0=V/v_0M=X/x0=U/u0,N=Y/y0=V/v0
F[k,l]F[k,l]F[k,l]是二维离散频谱，它和f[m,n]f[m,n]f[m,n]均可被看作是M∗NM*NM∗N矩阵的元素。

四种二维傅里叶变换对相关推荐

二维傅里叶变换是怎么进行的？
1.首先回顾一下一维FT 通俗来讲,一维傅里叶变换是将一个一维的信号分解成若干个三角波. 对于一个三角波而言,需要三个参数来确定它:频率,幅度 A ,相位.因此在频域中,一维坐标代表频率,而每个坐标对 ...
matlab极坐标下的二维傅里叶变换_形象理解二维傅里叶变换
公众号关注 "DL-CVer" 设为 "星标",DLCV消息即可送达! 来自 | 知乎作者 | 阿姆斯特朗链接 | https://zhuanlan.zh ...
形象理解二维傅里叶变换
点击上方"小白学视觉",选择加"星标"或"置顶" 重磅干货,第一时间送达来自 | 知乎作者 | 阿姆斯特朗链接 | https:// ...
【计算机图形学】小白谈计算机图形学（四）二维三维图形变换—1
小白谈计算机图形学(四)二维三维图形变换-1 窗口与视图二维图形的几何变换平移变换比例变换旋转变换二维图形变换的矩阵表示三种变换齐次坐标变换原二维线性变换齐次坐标法复合变换例题: ...
MATLAB作二维傅里叶变换所需要注意和知道的东西(im2double、fft2、abs、imshow、二维傅里叶变换的物理意义)
图像处理开发需求.图像处理接私活挣零花钱,请加微信/QQ 2487872782 图像处理开发资料.图像处理技术交流请加QQ群,群号 271891601 代码如下,这个代码是实现灰度图像作二维傅里叶变换 ...
2维FFT算法实现——基于GPU的基2快速二维傅里叶变换
2维FFT算法实现--基于GPU的基2快速二维傅里叶变换上篇讲述了一维FFT的GPU实现(FFT算法实现--基于GPU的基2快速傅里叶变换),后来我又由于需要做了一下二维FFT,大概思路如下. 首先 ...
java与前端实现7种二维码
OC](java与前端实现7种二维码) 1.项目结构 springboot项目 2.后端 QrcodeController package com.ljs.controller;import com. ...
Matlab：二维傅里叶变换
Matlab:二维傅里叶变换二维傅里叶变换二维衍射模式 fft2 函数将二维数据变换为频率空间.例如,您可以变换二维光学掩膜以揭示其衍射模式. 二维傅里叶变换以下公式定义 m×n 矩阵 X 的离 ...
使用matlab对图像进行二维傅里叶变换
这学期选了<图像工程基础>这门课,课上老师留了一个作业:对图像进行二维傅里叶变换. 现在我使用matlab解决这个问题 1.实验基本指令首先我试了一下matlab图像处理的基本指令原图 ...
Matlab实现频域滤波——二维傅里叶变换、低通、高通
目录 1.二维傅里叶变换 1.1二维傅里叶变换定义 1.2性质 2.低通滤波器 2.1理想低通滤波器 3.高通 1.二维傅里叶变换 1.1二维傅里叶变换定义首先通过傅里叶变换将图像从空间域转换为频率 ...

四种二维傅里叶变换对

四种二维傅里叶变换对相关推荐

最新文章

热门文章