山西财经大学

刘振洁 (副教授 )

开课语种

中文

已结束

简介：课程介绍《微积分》课程是一门经济管理类各专业的专业核心课程和专业基础课程。是初等数学与高等数学的分水岭，是学习大学其它数学课程的前修课程。在经管类专业全国研究生入学统一考试数学试卷中，《微积分》占有56%的份额。从现实生活中的最优化问题和经济学中的边际与弹性，到宇宙天体的运行规律，都有微积分的应用。无论对进一步深造，还是实际应用，《微积分》课程都是十分重要的。微积分的核心内容是一元函数的微积分。它们产生的四大推动力分别是：际速度问题、最大最小值问题、几何切线问题和求积问题。这其中，速度问题、切线的斜率问题最终都归结为改变量比的极限，称为导数。而微分的思想则来自无限细分的“微元法”或“原子论”；令人喜出望外的是导数居然就是微分的商；面积、体积问题最终归结为将无限小的“面积微元”、“体积微元”进行无限累加，称之为“积分”。一元积分中的包括两个部分组成：原函数和定积分，源于不同的数学研究。《微积分》课程中的多元微积分部分是平行的推广了一元微积分的内容。把微积分中一元函数的成果相应的推广到了多元函数场合。在这一部分，我们可以学习如何采用类推的方法，找寻新的知识；微分方程和差分方程部分，是微积分的反问题。是当未知函数的导数或差分所满足的某一关系式时，如何求出未知函数，这就是微分方程和差分方程部分要解决的核心问题。无穷级数部分主要解决无穷多项的求和问题，而无穷多项的求和问题是对有限项求和的本质性突破，它的产生彻底解决了著名的“芝诺悖论”，即只要乌龟先出发一段时间，跑的最快的阿基里斯就永远无法追上乌龟。在学习《微积分》课程过程中，不仅可以学到非常有用的数学知识，更能使我们的思维方式从有限发展到无限、从静止的研究问题拓展为变化的研究问题，真正地领悟从量变到质变和相对性看问题的辩证法思想。也许，微积分的知识会在课程结束后不久，忘得一干二净，但是，在学习微积分过程中所学到的思想、精神和思维方式将铭心刻骨、受益终身。教学方法网络教学平台，除了每周定时辅导答疑外，课程组还建立了网上答疑系统，进一步丰富了教学手段的改革； 为了提高教学效果，我们制作了多媒体教学软件。 这些软件可以让学生自行上校园网查阅。学生在课堂上没有完全理解的内容，包括例题，可在网上进一步学习。在教学软件中制作了一些动画， 使学生对抽象的数学概念有直观的印象 。 如极限、导数等概念的引进，中值定理的几何解释，旋转曲面的旋转过程等。 这是以往纯板书式教学所无法做到的。 使学生在课外学习时效果更好。学生可根据自己的需要，随意点击任意章、节的任一概念、定理或例题，反复多次，直到理解为止。对个别较难的习题，也提供了一些解题方法。 通过在线答疑形式，便于与学生进行单个交流，充分因材施教。仅在本学期，就通过网上和学生交流数千次。这种交流形式便于师生之间的有效沟通， 更显示出了它独特的便利价值。 教学效果在学习《微积分》课程过程中，不仅可以学到非常有用的数学知识，更能使我们的思维方式从有限发展到无限、从静止的研究问题拓展为变化的研究问题，真正地领悟从量变到质变和相对性看问题的辩证法思想。也许，微积分的知识会在课程结束后不久，忘得一干二净，但是，在学习微积分过程中所学到的思想、精神和思维方式将铭心刻骨、受益终身。参考教材高等数学 同济五版 学习指导与习题全解 雷发社，黄璞生主编 2003.08高等数学及其思想方法与实验 上  吴炯圻，陈跃辉，唐振松编著 2013.05高等数学及其思想方法与实验 下 吴炯圻，陈跃辉，唐振松编著 2013.05课程学习进度和课时安排本课程一共48课时，开课15周，第16周考试。建议同学们每周按照章节顺序依次学习3～4课时。十二周，每周4学时进度计划章次节知识点内容第一周第0章 序言第一节 课程介绍1.1 微积分课程简介第二节 学习方法1.2 微积分学习方法第一章   函数第一节 预备知识2.1.1 实数的区间与邻域第二节 函数2.2.1 函数的概念与表示第三节 反函数2.3 反函数 第四节 函数的几何特性2.4 函数的几何特性第二周第五节 函数的运算2.5.1 函数的四则运算2.5.2 函数的复合与分解第六节 初等函数2.6.1 基本初等函数与初等函数第七节 经济函数举例2.7 经济函数举例第八节 本章测试 章节测试一第二章 极限与连续第一节 数列的极限3.1.1   数列及其极限的描述定义3.1.2   数列极限与子列极限的关系3.1.3*  选学——数列极限的分析定义*第二节   函数的极限3.2.1   函数在无穷远处的极限概念3.2.2   函数在固定点的极限与单侧极限3.2.3   无穷小量与无穷大量的概念3.2.4*  选学2——函数极限的分析定义*第三周第三节 极限的四则运算3.3.1  极限的四则运算法则第四节   极限的性质3.4.1  极限唯一性与应用3.4.2  极限的有界性和局部有界性3.4.3  复合函数的极限3.4.4  极限的保号性3.4.5  选学3*—数列极限与函数极限的关系第四周第五节 两个重要极限3.5.1  夹逼准则3.5.2  重要极限I及其应用3.5.3  单调有界准则3.5.4  重要极限II及其应用3.5.5  连续复利第六节   无穷小量的性质3.6.1  无穷小量的运算性质3.6.2  无穷小量与其它概念的关系性质第七节   无穷小量阶的比较3.7.1  无穷小量阶的比较第五周3.7.2  等价代换求极限第八节   函数连续与间断概念3.8.1  连续的定义及其等价形式3.8.2  连续的必要条件与单侧连续3.8.3  间断点分类与举例第九节   函数连续的性质3.9.1  函数连续的性质3.9.2  分段函数连续区域第十节 闭区间上连续函数的性质3.10.1  闭区间上的连续函数及其性质第十一节 章节测试章节测试二第六周第三章   导数与微分第一节 导数的概念4.1.1 导数的概念4.1.2 单侧导数4.1.3 可导与连续的关系第二节   导数的运算法则4.2.1 导函数4.2.2 导数的四则运算4.2.3 反函数求导法与导数公式第七周第三节   复合函数求导法和隐函数求导法4.3.1 复合函数的导数4.3.2 隐函数求导法4.3.3 对数求导法第四节   高阶导数4.4.1 高阶导数4.4.2 几个函数的n阶导数4.3.3 n阶导数的计算公式第五节   函数的微分4.5.1 微分概念4.5.2 可导与微分的关系4.5.3 微分的四则运算4.5.4 一阶微分形式不变性第八周第六节  导数在经济中的应用4.6.1 边际4.6.2 弹性第七节 章节测试章节测试三第四章  微分学应用第一节 极值的概念5.1.1 函数极值的概念及必要条件第二节   中值定理5.2.1 罗尔定理5.2.2 罗尔定理应用5.2.3 拉格朗日定理5.2.4 拉格朗日公式的推论5.2.5 柯西定理第九周第三节 罗比达法则5.3.1 罗比达法则5.3.2 几个无穷大量的比较5.3.3 罗比达法则其它型第四节 函数的单调性5.4  函数的单调性第五节   极值点的充分条件5.5.1 函数极值的充第一分条件5.5.2 函数极值的充第二分条件第六节   曲线的凹凸性5.6.1 曲线的凹凸性与拐点5.6.2 曲线的凹凸性判别第十周第七节 曲线的渐近线5.7  曲线的渐近线第八节   函数的作图5.8.1 函数作图5.8.2 软件作图第九节   函数最值的应用5.9.1 函数的最大值与最小值5.9.2 函数最值的应用第十节  章节测试章节测试四第十一周第五章  不定积分第一节 不定积分的概念6.1 不定积分的概念第二节 不定积分的性质6.2 不定积分的性质第三节 基本积分法6.3 基本积分法第十二周第四节 换元积分法6.4.1 第一换元法6.4.2 第二换元法第五节 分部积分法6.5 分部积分法第六节 简单有理分式的积分6.6 简单有理分式的积分第七节 章节测试章节测试五