Basics About Orders

• Object Ranking应用：
  • 量化的受訪者的感觉或印象（quantification of respondents’ sensations or impressions）
  • 信息检索（information retrieval）
  • 理性决策（decision making）
• 定义基本符号
  • X：object集合
  • xj：索引號为j的object
  • xj = [xj1,xj2,…xjk]：xj由一个长度为k的特征向量表示。当中k是特征个数
  • O = xa>xb>…xc：O是一个排名
  • X(Oi)= Xi：X中Oi的object
  • Li = |X(Oi)| = |Xi|：Xi的长度
    • 假设某个Oi的个数等于X。那么这个Oi排名就是一个全排名。
  • r（Oi , xj）= rij：Oi排名中的第j名是哪个object
    • 举例：Oi = x1>x3>x2, r(Oi,x2) = ri2表示Oi的第二名：3
    • 对于两个排名O1,O2,存在两个不等的xa,xb,假设（r1a-r1b）（r2a-r2b）>= 0说明这两个object（xa,xb）在两个排名（O1,O2）的排名前后是一致的。
    • 假设O1,O2中全部的object的排名前后都一致。则说明O1,O2这两个排名是一致的。

• 斯皮尔曼距离（Spearman distance）

  • 当两个排名中的元素同样时（仅仅有元素同样才有可比性）能够计算这两个排名的距离。计算公式例如以下：
    

  • 将其规范化到[-1,1]得到 Spearman’s rank correlation p，(当中L =|X|)

    

  • 这得到的是两个全排名的相关性系数。

• 肯德尔距离（Kendall distance）是还有一个被广泛应用的距离

  • 当x>0时，sgn（x）=0，当x<0时。 sgn（x）= -1.
  • M= （L-1）L/2等于全部的object pairs.

  

  • 将其规范化到[-1,1]得到Kendall’s rank correlation τ:

  

• 计算p和τ的代价各自是O(LlogL)和O(L^2),这这两个值本身也有非常高的相关性。他们之间的差距能够通过Daniels’ inequality来界定：

• 还有一个描写叙述ds和dk之间的关系的不等式是Durbin–Stuart’s inequality：

An Object Ranking Task

• 输入：若干个object pair之间的相对关系{O1,O2,…On}
• 给定：模型的误差函数ε()

• 目的：找到一个排名函数（ranking function）ord()，使得ε(ord(Xi)).sum()最小。ord（Xi）表示了预測排名和输入排名Oi之间的差。

• 看一个样例：
  

  • 当中O1,O2,O3是能够观測到的object排名，通过一个回归函数。进行排名得到的是O,当中对于每一个Oi都会产生一个误差ε,通过最小化这个误差和来求得最优的回归模型。*这个概念在机器学习中叫aggregated ranking，在统计学中叫center of orders。

  • 当中的x4在输入模型中并没有观測数据，那么处理这类数据的原则是：若两个object在特征空间上是邻居，那么其排名上也会非常接近。

• 绝对排名（absolute）：描写叙述的是回归函数对x1,x2的排名不论是否存在x3,都是一致的
• 相对排名（relative）：当存在其它object时。x1,x2的排名可能不一致。可能会出现x1 >x2 > x3 and x2 >x4 > x1
  

  绝对排名在过滤或者推荐系统中更受欢迎。在总结多文档时。当提取了重要句子后又出现新的句子时。那么原有的排序将会受到影响，採用相对排名比較合适。

Object Ranking Methods

Cohen’s method (Cohen)

• Cohen的目标是找到一个Ou使得以下这个式子最大化：

  

• 当X非常大时，这个问题是NP难的。

  因此Cohen提出了一个贪心的算法（Xu表示全部的objects）：

  • 第一个for循环是计算每一个节点的排名在前面的个数（遍历每对object。对在前面的object的score加1）
  • 第二个while循环里面，首先将score的分最大的那个object排在Ou的后面，然后在Xu中删除该元素。
    • 内循环for的任务是改动score，此处掉了求和符号。应该与第一个一样。仅仅是这里的Xu改动了

  

• P[xa>xb|xa,xb]是通过Cohen的Hedge algorithm计算出来的。该算法是一个在线算法（online algorithm）。是Winnow算法的变体。
• Hedge algorithm是一种专家建议预測算法。它仅仅考虑了顺序信息而忽略了数值信息，因此，对于属性值是数值型数据的问题不适合用这个算法。

RankBoost (RB)

Freund提出了RankBoost。

• Input：
  • feedback function ∅(xa,xb)，假设∅(xa,xb) >0那么xb>xa。
  • a set of ranking features fl(xi),包括了目标排名（target ording）的部分信息。

• Output：

  • final ranking H（xi）,是一个计分函数（score function）

• 算法描写叙述

  • 首先：计算初始分布D1（xa,xb）=max(∅(xa,xb),0)/Z1（Z1是规范化系数）

  • 然后：迭代T次。反复选择权值αt以及弱化学习器ht(x)。更新公式例如以下：

    

  • h(x)是弱学习器（Weak learners），从特征值中捕捉了真实排名的若干信息。比方说h(xb)>h(xa)表示xb>xa. 一旦αt和ht被确定了，那么排名从大到下的顺序也就确定了，通过以下这个公式能够获取排名信息：

    

SVM-Based Methods: Order SVM (OSVM) and Herbrich’s Method (SVOR)

OSVM是用来判别给定的对象排名是否高于第j名。 SVOR是用来判别给定的两个object哪个排在前面。

• Order SVM：通过不同的阈值来构建多个SVM分类器，然后对于新的object，利用全部SVM的平均来给予一个固定的名次。SVM算法能够描写叙述为这样一个优化问题：