【元胞自动机】基于matlab元胞自动机晶体生长【含Matlab源码 232期】

一、元胞自动机简介

1 元胞自动机发展历程
最初的元胞自动机是由冯 · 诺依曼在 1950 年代为模拟生物细胞的自我复制而提出的. 但是并未受到学术界重视.
1970 年, 剑桥大学的约翰 · 何顿 · 康威设计了一个电脑游戏 “生命游戏” 后, 元胞自动机才吸引了科学家们的注意.

1983 年 S.Wolfram 发表了一系列论文. 对初等元胞机 256 种规则所产生的模型进行了深入研究, 并用熵来描述其演化行为, 将细胞自动机分为平稳型, 周期型, 混沌型和复杂型.

2 对元胞自动机的初步认识
元胞自动机（CA）是一种用来仿真局部规则和局部联系的方法。典型的元胞自动机是定义在网格上的，每一个点上的网格代表一个元胞与一种有限的状态。变化规则适用于每一个元胞并且同时进行。典型的变化规则，决定于元胞的状态，以及其（ 4 或 8 ）邻居的状态。

3 元胞的变化规则&元胞状态
典型的变化规则，决定于元胞的状态，以及其（ 4 或 8 ）邻居的状态。

4 元胞自动机的应用
元胞自动机已被应用于物理模拟，生物模拟等领域。

5 元胞自动机的matlab编程
结合以上，我们可以理解元胞自动机仿真需要理解三点。一是元胞，在matlab中可以理解为矩阵中的一点或多点组成的方形块，一般我们用矩阵中的一点代表一个元胞。二是变化规则，元胞的变化规则决定元胞下一刻的状态。三是元胞的状态，元胞的状态是自定义的，通常是对立的状态，比如生物的存活状态或死亡状态，红灯或绿灯，该点有障碍物或者没有障碍物等等。

6 一维元胞自动机——交通规则
定义：
6.1 元胞分布于一维线性网格上.
6.2 元胞仅具有车和空两种状态.

7 二维元胞自动机——生命游戏
定义：
7.1 元胞分布于二维方型网格上.
7.2 元胞仅具有生和死两种状态.

元胞状态由周围八邻居决定.
规则：

骷髅：死亡；笑脸：生存
周围有三个笑脸，则中间变为笑脸
少于两个笑脸或者多于三个，中间则变死亡。

8 什么是元胞自动机
离散的系统: 元胞是定义在有限的时间和空间上的, 并且元胞的状态是有限.
动力学系统: 元胞自动机的举止行为具有动力学特征.
简单与复杂: 元胞自动机用简单规则控制相互作用的元胞模拟复杂世界.

9 构成要素

（1）元胞 (Cell)

元胞是元胞自动机基本单元：
状态: 每一个元胞都有记忆贮存状态的功能.
离散: 简单情况下, 元胞只有两种可能状态; 较复杂情况下, 元胞具有多种状态.
更新: 元胞的状态都安照动力规则不断更新.
（2）网格 (Lattice)
不同维网格

常用二维网格

（3）邻居 (Neighborhood)

（4）边界 (Boundary)

反射型：以自己作为边界的状态
吸收型：不管边界（车开到边界就消失）

（5）规则（状态转移函数）
定义：根据元胞当前状态及其邻居状况确定下一时刻该元胞状态的动力学函数, 简单讲, 就是一个状态转移函数.
分类：
总和型: 某元胞下时刻的状态取决于且仅取决于它所有邻居的当前状态以及自身的当前状态.
合法型: 总和型规则属于合法型规则. 但如果把元胞自动机的规则限制为总和型, 会使元胞自动机具有局限性.
（6）森林火灾

绿色：树木；红色：火；黑色：空地。
三种状态循环转化：
树：周围有火或者被闪电击中就变成火。
空地：以概率p变为树木
理性分析：红为火；灰为空地；绿是树

元胞三种状态的密度和为1

火转化为空地的密度等于空地转换为树的密度（新长出来的树等于烧没的树）

f是闪电的概率:远远小于树生成的概率；T s m a x T_{smax}T smax
是一大群树被火烧的时间尺度
程序实现
周期性边界条件
购进啊

其中的数字为编号
构建邻居矩阵

上面矩阵中的数字编号，对应原矩阵相同位置编号的上邻居编号，一一对应
同样道理：

（7）交通概念
车距和密度

流量方程

守恒方程

时空轨迹（横轴是空间纵轴为时间）

红线横线与蓝色交点表示每个时间车的位置。
如果是竖线则表示车子在该位置对应的时间

宏观连续模型：

最常用的规则：

红色条表示速度是满的。

1 加速规则：不能超过v m a x （ 2 格 / s ） v_{max}（2格/s）v
max（2格/s）
2 防止碰撞：不能超过车距

理论分析：

结果分析: 密度与流量

第一个图：横坐标是归一化后的密度，纵坐标是车流量。第二个图：理论值与CA的结果

结果分析: 时空轨迹

中间的深色区域是交通堵塞的区域。

二、部分源代码

% DLA
clc;clear;close all;
S=zeros(400,500); % 生成状态矩阵
S(end,:)=1; % 设置状态矩阵中最下面一行元素等于1
A=1;B=1;X=0.8;
rand('state',0); % 设置随机数的状态数
subplot(121);Ii=imshow(1-S,[]); % 显示状态矩阵
T1=title(['times = 1',', total particle=',num2str(sum(S(:)))],...'Fontname','times new roman','fontsize',14); % 显示时间与粒子总数
r=rand(1,500);
subplot(122);P1=plot(sum(S,2)/size(S,2),1:size(S,1),'r');% 绘制各行的密度值曲线
set(gca,'Position',[0.57,0.35,0.33,0.36],'YDir','reverse'); % 设置坐标轴属性
xlim([0,max(sum(S,2)/size(S,2))]); % 设置x轴的范围
ylabel('\ith','fontname','times new roman','fontsize',14); % y轴标注
xlabel('\it\rho','fontname','times new roman','fontsize',14); % x轴标注
title('{\it\rho} ({\ith})','fontname','times new roman','fontsize',14); % 加注图题
set(gcf,'DoubleBuffer','on'); % 设置图形窗口的渲染效果
[L1,L2]=size(S); % 返回状态矩阵的行数L1和列数L2
N=500;H=1; % 初始化参数：粒子总数N和时间参数H
h=150; % 设置截顶高度
scale=0.5; % 设置剪切系数
while N<20000;R1=2+round([L1-3]*rand); % 随机产生粒子的坐标R2=2+round([L2-4]*rand); % 随机产生粒子的坐标flag=0; % 控制循环停止的参数while R1<L1&R1>1&R2<L2&R2>1&flag==0; % 验证粒子在状态矩阵内部且粒子未被吸附he=S(R1,R2-1)+S(R1,R2+1)+S(R1+1,R2); % 计算左、下和右方位的近邻if he>0.5; % 判断近邻中有固定粒子S(R1,R2)=1; % 运动粒子被吸附flag=1; % 标记粒子已经被吸附elsera=rand; % 粒子进行随机移动的分量rb=rand; % 粒子进行随机移动的分量R1=R1+(ra>=0.5)-(ra<0.5); % 计算下一时刻粒子的位置坐标R2=R2+(rb>=0.5)-(rb<0.5); % 计算下一时刻粒子的位置坐标endendsS=sum(S,2); % 对行所有元素求和Se=find(sS);Se=min(Se); % 找出有粒子的最高一行   if Se==[size(S,1)-h]; % 判断高度是否达到截顶高度Sx=find(S(Se,:)); % 找出最高点粒子的横坐标S=cuth(S,h,Se,Sx,scale); % 切去最高点粒子所在的分支endset(Ii,'CData',1-S); % 显示状态矩阵N=sum(S(:)); % 计算粒子总数H=H+1; % 累计时间值set(P1,'XData',sum(S,2)/size(S,2)); % 更新密度曲线数据set(T1,'string',['times = ',num2str(H),', total particle=',num2str(sum(S(:)))]);% 更新时间和粒子总数pause(0.02); % 暂停一下，显示动画效果
end

三、运行结果

四、matlab版本及参考文献

1 matlab版本
2014a

2 参考文献
[1] 包子阳,余继周,杨杉.智能优化算法及其MATLAB实例（第2版）[M].电子工业出版社，2016.
[2]张岩,吴水根.MATLAB优化算法源代码[M].清华大学出版社，2017.
[3]【数学建模】元胞自动机.博主：二进制人工智能