麦克斯韦电磁场理论基础

1.位移电流
- 1.1位移电流
- 1.2位移电流的磁场
2.麦克斯韦电磁场理论
- 2.1恒定电磁场的基本规律
- 2.2感生电磁场的基本方程
- 2.3麦克斯韦电磁场理论
3.电磁波
- 3.1电磁波的产生
- - 3.1.1 LC振荡电路
  - 3.1.2 原子内电子的跃迁
- 3.2电磁波的性质
- 3.3电磁波谱
- 3.4电磁波的多普勒效应
4.总结

1.位移电流

1.1位移电流

电流连续性原理：在无分支的闭合回路中，通过任何截面的电流强度都相等。

但是在如上图所示的RC电路中，传导电流是不连续的，电流连续性原理在这种情况下失效。那么就有可能会导致在同一个回路L为边界的不同曲面上应用安培环路定理得到不同的结果，这是我们所不能接受的。所以要对电流连续性原理进行必要的修正和扩展。

对于充放电的平板电容器来说，设极板的面积为S，某时刻极板上的自由电荷面密度为σ\sigmaσ，则极板间电场的电位移D=σD=\sigmaD=σ，也随着时间发生变化。不计边界效应，于是穿过极板间某一截面S（大小与极板面积相等）的电位移通量为：
ΦD=DS=σS=q\Phi _{D}=DS=\sigma S=q ΦD=DS=σS=q
电位移通量随时间的变化率为：
dΦDdt=dDdtS=dσdtS=dqdt=Ic{d\Phi _{D}\over{dt}}={d{D}\over{dt}}S={d{\sigma}\over{dt}}S={{dq}\over{dt}}=I_{c} dtdΦD=dtdDS=dtdσS=dtdq=Ic
式中，IcI_{c}Ic为传导电流。为了使电流连续性原理在这种非恒定条件下也能成立，麦克斯韦把变化的电位移通量看作电流，提出了位移电流IdI_{d}Id，其定义式为：
Id=dΦDdt=ddt∫SD⋅dS=∫dDdt⋅dSI_{d}={d\Phi _{D}\over{dt}}={d\over{dt}}\int _{S}D·dS=\int{dD\over{dt}}·dS Id=dtdΦD=dtd∫SD⋅dS=∫dtdD⋅dS
其中jd=dDdtj_{d}={dD \over{dt}}jd=dtdD称为位移电流密度。

将传导电流与位移电流合在一起考虑称为全电流：It=Ic+IdI_{t}=I_{c}+I_{d}It=Ic+Id

那么可以将安培环路定理修改为：
∮LH⋅dl=Ic+Id=∫SjcdS+∫SdDdt⋅dS\oint_{L}H·dl=I_{c}+I_{d}=\int_{S}j_{c}dS+\int_{S}{dD\over dt}·dS ∮LH⋅dl=Ic+Id=∫SjcdS+∫SdtdD⋅dS
上式即为全电流安培环路定理。

位移电流和传导电流的区别：位移电流实质上是变化着的电场，而传导电流则是自由电荷的定向运动；而且位移电流的存在不需要导线，即使在真空中也可以有位移电流，它也不产生焦耳热，而传导电流在导线中流动并产生焦耳热。

1.2位移电流的磁场

很自然地，也可以假定位移电流也具有跟传导电流相似的性质，即可以激发磁场，感生磁场HiH_{i}Hi也应服从安培环路定理，即
∮LHi⋅dl=Id=dΦDdt=ddt∫SD⋅dS=∫SdDdt⋅dS\oint_{L}H_{i}·dl=I_{d}={d\Phi _{D}\over{dt}}={d\over{dt}}\int _{S}D·dS=\int_{S}{dD\over dt}·dS ∮LHi⋅dl=Id=dtdΦD=dtd∫SD⋅dS=∫SdtdD⋅dS
考虑到D一般应为空间坐标和时间的函数，故它的时间变化率dDdt{dD\over {dt}}dtdD应该用偏导数表示。于是有：
∮LHi⋅dl=∫S∂D∂t⋅dS\oint_{L}H_{i}·dl=\int_{S}{\partial D\over {\partial t}}·dS ∮LHi⋅dl=∫S∂t∂D⋅dS
要注意的是，位移电流实际上是电场的时间变化率，假定电流具有磁效应，也就是假设随时间变化的电厂能够在其周围激发磁场，这正是麦克斯韦电流假设的核心思想。

变化的电场∂D∂t{\partial D\over {\partial t}}∂t∂D和它所激发到磁场HiH_{i}Hi在方向上满足右手螺旋关系。

2.麦克斯韦电磁场理论

2.1恒定电磁场的基本规律

①静电场的高斯定理:
∮SDS⋅dS=Σq\oint_{S}D_{S}·dS=\Sigma q ∮SDS⋅dS=Σq
D 为电位移矢量。

②静电场的安培环路定理:
∮LEs⋅dl=0\oint_{L}E_{s}·dl=0 ∮LEs⋅dl=0
E为电场强度。
静电场是有源、保守场。

③恒定磁场的高斯定理:
∮SBs⋅dS=0\oint_{S}B_{s}·dS=0 ∮SBs⋅dS=0
B为磁感应强度。

④恒定磁场的安培环路定理:
∮LHs⋅dl=ΣI\oint_{L}H_{s}·dl=\Sigma I ∮LHs⋅dl=ΣI
H为磁场强度。

上式中：

D=ε0(1+χe)H=ε0εrH=εE,χe为电介质的极化率。D=\varepsilon_{0}(1+\chi_{e})H=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}H=\varepsilon E,\qquad \chi_{e}为电介质的极化率。 D=ε0(1+χe)H=ε0εrH=εE,χe为电介质的极化率。
B=μ0(1+χm)H=μ0μrH=μH,χm为磁化率。B=\mu_{0}(1+\chi_{m})H=\mu_{0}\mu_{r}H=\mu H,\qquad \chi_{m}为磁化率。 B=μ0(1+χm)H=μ0μrH=μH,χm为磁化率。

上式中的下标s表示场是静态场。以上四个方程表明，静电场是有源场，电荷是产生电场的源，静电场是保守场，无旋、有势；恒定磁场是无源场，恒定磁场是非保守场，有旋、无势。静态场的规律不具备普适性。

2.2感生电磁场的基本方程

①感生电场的高斯定理：
∮SEi⋅dS=0\oint_{S}E_{i}·dS=0 ∮SEi⋅dS=0
感生电场是无头无尾的无源场，感生电场力形成了感生电动势。

②感生电场的环路定理：
∮LEi⋅dl=−∫S∂B∂t⋅dS\oint_{L}E_{i}·dl=-\int_{S}{{\partial B}\over{\partial t}}·dS ∮LEi⋅dl=−∫S∂t∂B⋅dS
感生电场是无源、非保守场。

③感生磁场的高斯定理(没有讲，但是很容易理解)：
∮SBi⋅dS=0\oint_{S}B_{i}·dS=0 ∮SBi⋅dS=0

④感生磁场的环路定理（前面有提到）：
∮LHi⋅dl=∫S∂D∂t⋅dS\oint_{L}H_{i}·dl=\int_{S}{\partial D\over {\partial t}}·dS ∮LHi⋅dl=∫S∂t∂D⋅dS
感生磁场是无源、非保守场。

2.3麦克斯韦电磁场理论

真实的场不仅有静态场，还有动态场。

电场包括静电场和感生电场，即总电场为：
E=Es+EiD=Ds+DiE=E_{s}+E_{i} \quad D=D_{s}+D_{i} E=Es+EiD=Ds+Di

磁场包括恒定磁场和感生磁场，即总磁场为：
B=Bs+BiH=Hs+HiB=B_{s}+B_{i} \quad H=H_{s}+H_{i} B=Bs+BiH=Hs+Hi

将恒定电磁场的基本方程和感生电磁场的相应方程概括合并，对应相加，即可得到一般电磁场所满足的方程组——麦克斯韦方程组(Maxwell equations)的积分形式：

①电场的高斯定理：
∮SD⋅dS=Σq\oint_{S}D·dS=\Sigma q ∮SD⋅dS=Σq

②电场的环路定理：
∮LE⋅dl=−∫S∂B∂t⋅dS\oint_{L}E·dl=-\int_{S}{{\partial B}\over{\partial t}}·dS ∮LE⋅dl=−∫S∂t∂B⋅dS

③磁场的高斯定理：
∮SB⋅dS=0\oint_{S}B·dS=0 ∮SB⋅dS=0

④感生磁场的环路定理：
∮LH⋅dl=ΣI+∫S∂D∂t⋅dS\oint_{L}H·dl=\Sigma I + \int_{S}{\partial D\over {\partial t}}·dS ∮LH⋅dl=ΣI+∫S∂t∂D⋅dS

也可以得到其微分形式，不再推导，假定自由电荷q为体分布，其体电荷密度为ρ\rhoρ，如下：

∇⋅D⋅dS=ρ\nabla ·D·dS=\rho ∇⋅D⋅dS=ρ
∇⋅B=0\nabla·B=0 ∇⋅B=0
∇×E=−∂B∂t\nabla ×E=-{{\partial B}\over{\partial t}} ∇×E=−∂t∂B
∇×H=jc+∂D∂t\nabla ×H=j_{c}+{{\partial D}\over{\partial t}} ∇×H=jc+∂t∂D
对于各向同性介质来说：
D=ε0εrH；B=μ0μrH；jc=γED=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}H；B=\mu_{0}\mu_{r}H；j_{c}=\gamma E D=ε0εrH；B=μ0μrH；jc=γE
式中的εr,μr和γ\varepsilon_{r},\mu_{r}和\gammaεr,μr和γ分别是介质的相对介电常数、相对磁导率和电导率。

具体求解麦克斯韦方程组时，还应给定边界条件和初始条件（详见微分方程）。

3.电磁波

3.1电磁波的产生

从经典电磁理论可知，静止电荷或匀速直线运动电荷只能激发稳态场（如静电场、恒定磁场），而不会产生时变场。只有加速运动电荷才能激发时变场。任何作加速运动的电荷都是辐射电磁波的波源。而且辐射波的性状完全依从于电荷运动的方式。若运动电荷突然受到制止，它将辐射单个的电磁波脉冲，若电荷做周期性运动（特别是按正弦规律振动），则波场中E和H也将是周期性的（典型的如正弦波）。

归根结底，产生持续性电磁波的基本原理只有一个，那就是把电荷周期性地扰动起来，使它作周期性运动。被扰动电荷就成为产生电磁波的中心。从这一中心出发，电磁扰动以球面波的形式传播出去。在远场的局部范围内，这些球面波则可以被看作平面波。

产生电磁波主要由两种方法：

3.1.1 LC振荡电路

电荷在LC电路中来回往复，作周期性振荡，这一无阻尼振荡的频率为
ν=12πLC\nu={{1}\over{2\pi \sqrt{LC}}} ν=2πLC1
但是如果想让电磁波辐射到空中，比如：

①开放电路，使场能弥散到空间中去；
②减小L，C值，以提高辐射频率。

电容器机板面积越小、间距越大，电容C也就越小；线圈匝数越少、其自感L也越小。按照这种设想对LC振荡电路逐步加以改造，使电容器极板面积越来越小，间距越来越大，自感线圈匝数越来越少，电路越来越开放。最后电路演变为一根指导线，电流在其中往复震荡，两端出现正负交替的等量异种电荷，这种电路被称为振荡偶极子，又称为偶极振子。电磁波中的无线电波就是由这种偶极振子产生的，电台和电视台的发射天线大都可以看作是这种偶极振子。

3.1.2 原子内电子的跃迁

原子内电子的跃迁。根据量子理论，原子内电子从较高能级跃迁到另一个较低能级时要向外辐射电磁波，其频率由发生跃迁的两个能级间的能量差决定。不同的原子有不同的能级结构，所以每个原子都只能辐射出特定频率的电磁波。如钠原子在跃迁的过程中辐射出黄光，锶原子在跃迁的过程中辐射出红光。

每种原子可能发出的所有频率的光波，构成了这种原子的发射光谱。

原子内层电子的跃迁则可发出X射线。此外，分子层及的跃迁也能辐射电磁波，原子核中质子和中子的相互作用，则可发射出频率更高的γ射线。上述方式所产生的电磁波的频率完全由物质本身的性质来决定，人们所能做的工作充其量只能是激发。这种方式得到的电磁波包括红外线、可见光、紫外线、X射线、γ射线等。

3.2电磁波的性质

电磁波具有以下基本性质：

①电磁波是横波。波场中表征电磁扰动的电矢量E和磁矢量H均与波的传播方向垂直。
②电矢量E和磁矢量H相互垂直。这就是说，E，H和波速u三者两两正交，且构成右手螺旋关系，即E×H沿波速u的方向，如下图所示：

③E和H同相变化。 ④波场中任一点E和H的数值关系均为 εE=μH\sqrt{\varepsilon} E = \sqrt{\mu}H εE=μH
⑤电磁波的传播速度大小取决于介质的介电常量ε\varepsilonε和磁导率μ\muμ，即 u=1εμu={{1}\over{\sqrt{{\varepsilon}\mu}}} u=εμ1 真空中电磁波的传播速度等于光速： c=1ε0μ0=2.998×108m⋅s−1≈3.0×108（m⋅s−1）c={{1}\over{\sqrt{{\varepsilon_{0}}\mu_{0}}}}=2.998×10^8m·s^{-1}≈3.0×10^8（m·s^{-1}） c=ε0μ01=2.998×108m⋅s−1≈3.0×108（m⋅s−1） ⑥电磁波的强度为 S=E×HS=E×H S=E×H 电磁波的强度S又叫做坡印廷矢量。E，H和S构成右手螺旋关系。

3.3电磁波谱

在红外线和微波之间还有一种波叫太赫兹波，涉及一种新兴的研究领域。
关于电磁波谱的介绍可以参考：
https://baike.baidu.com/item/%E7%94%B5%E7%A3%81%E6%B3%A2%E8%B0%B1/907208

3.4电磁波的多普勒效应

电磁波不仅具有纵向多普勒效应，还具有横向多普勒效应，但是相比于纵向多普勒效应，横向多普勒效应非常弱，且难以测量，故在实际应用中更常考虑纵向多普勒效应。

v为波源与接收器之间的相对速度，相互接近v>0，相互远离v<0。
νR=c+vc−vνS\nu_{R}={{{c+v}\over{c-v}}}\nu_{S} νR=c−vc+vνS

4.总结

这一节主要介绍了麦克斯韦电磁波理论、电磁波的产生还有电磁波的一些基本性质与效应，为之后对于光学的深入学习打下基础。

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4.总结

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