信号与系统 --- 傅里叶变换时/频对照表（个人学习笔记）

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对应关系1（傅里叶级数与傅里叶变换的意义）：

1，时域的周期对应频域的离散

2，时域的非周期对应频域的连续

3，时域的非周期信号对应傅里叶变换Transform

4，时域的周期信号对应傅里叶级数Series

对于第一条而言，周期信号可写成傅里叶级数的求和形式(频谱离散)。

也就是说，因为，傅里叶分析的本质使用三角波合成任意波形，又因为，三角波都是周期信号，且都是正负向无穷的信号，因此，如果说一个波形，在时域是周期且无穷的，那么就只需要有限个三角波合成就行了，有限个意味着离散（注意，“有限个”也能有无穷多个，但依然还是离散的）。比如说，如果说一个时域信号本身就是一个正弦信号，那么用于合成他的频域信号，只需要对应频率上的一个点（有可能是一对点）就行了。

而非周期信号，也就是上面说的第二条，他是傅里叶变换的积分形式(频谱连续)。

因为，原始信号是非周期的，而非周期，就意味着不连续或者说很剧烈的跳变，不连续的信号需要用无穷多个正弦波和余弦波合成，(因为，正弦信号和余弦信号本身就不是那种跳变非常明显的信号，所以，用他们来合成一个不连续且剧烈跳变的信号是一个短板，例如，在合成方波信号时，就会出现Gibbs现象)。正因为是无穷多个正弦波和余弦波合成的，所以说是连续的，连续意味着无穷。

小结：周期信号只需要有限个周期信号就可以合成，而非周期信号，需要无限个周期信号合成。

对应关系2（傅里叶级数到傅里叶变换的转化）：

级数是对变换的采样，变换是级数的包络。（把非周期信号看成是周期无限大的周期信号）

从周期信号的傅里叶级数到非周期信号的傅里叶变换的秘籍，就是傅里叶自己曾经说过的一句话：

下面我们用一个例子来说明关系2：

先看一下周期方波信号的傅里叶级数：

该方波的周期为T，即，以T为周期循环。在【-T1~T1】处为1，在【-T/2~-T1】处和【T1~T/2】处为0。

原始信号的长度为2*T1，随着基波周期T的不断增加4*T1,8*T1,16*T1（这也意味着周围方波信号中，方波与方波之间的间隔越来越大），采样间隔2Pi/T越来越小。

把非周期信号看成是周期无限大的周期信号：

我们把下图反过来看，假设我们的原始信号是下图中的b，b是一个周期信号，且周期为T。如果我们把这个周期信号的周期T放到无限大，就变成了下图中的a，虽然他依然还是一个周期信号，但是他的其他Copys都在无穷远处。

这种时域上的变换，对应在频域上等同于不断地缩小傅里叶级数之间的样本间隔2Pi/T，直到变成“连续”的傅里叶级数，也就是傅里叶变换。这也是从求和到求积分的转化。

补充（离散时间傅里叶变换举例）：

对应关系3（数字信号的基本性质）：

5，时域的连续对应频域的非周期

6，时域的离散对应频域的周期

最起第一列，分别是连续时间信号和他的傅里叶变换，是非周期的。第二列为连续时间周期信号的傅里叶级数，他的频域信号是对第一列傅里叶变换的采样（根据关系2），同样也是非周期的。从第三列和第四列开始，输入信号都变成了离散时间信号，我们先看第三列，他的输入是对第一列输入信号的采样，而他的傅里叶变换是第一列傅里叶变换的周期函数。时域的采样间隔和傅里叶变换的复制周期严格对应。同样，上图中的第四列，输入信号，也是对第二列的连续周期信号的采样，同理，采样后的傅里叶级数在频域也第二列的傅里叶级数的周期函数。当然，我们也可以把第四列的傅里叶级数，看成对第三列的傅里叶变换的采样（根据关系2）。

（全文完）

作者 --- 松下J27

参考文献：

1，The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing，Steven W. Smith

2，信号与系统，第二版，奥本海姆

3，https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform

格言摘抄：满了一把，得享安静。强如满了两把，劳碌捕风。---《圣经-传道书》