完美数简介及算法分析
完美数简介
各个小于它的约数(真约数,列出某数的约数,去掉该数本身,剩下的就是它的真约数)的和等于它本身的自然数叫做完全数(Perfect number),又称完美数或完备数。
例如:第一个完全数是6,它有约数1、2、3、6,除去它本身6外,其余3个数相加,1+2+3=6。第二个完全数是28,它有约数1、2、4、7、14、28,除去它本身28外,其余5个数相加,1+2+4+7+14=28。第三个完全数是496,有约数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496,除去其本身496外,其余9个数相加,1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。后面的完全数还有8128、33550336等等。
解法
如何求小于10000的所有完美数?并将程式写的有效率?基本上有三个步骤:
求出一定数目的质数表
利用质数表求指定数的因式分解
利用因式分解求所有真因数和,并检查是否为完美数
步骤一 与 步骤二在之前讨论过了,问题在步骤三,如何求真因数和?方法很简单,要先知道将所有真因数和加上该数本身,会等于该数的两倍,例如:
2 * 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28
等式后面可以化为:
2 * 28 = (20 + 21 + 22) * (70 + 71)
所以只要求出因式分解,就可以利用回圈求得等式后面的值,将该值除以2就是真因数和了;等式后面第一眼看时可能想到使用等比级数公式来解,不过会使用到次方运算,可以在回圈走访因式分解阵列时,同时计算出等式后面的值,这在下面的实作中可以看到。
C/OC代码实现
#define N 1000
#define P 10000int prime(int*); // 求质数表
int factor(int*, int, int*); // 求factor(因式分解)
int fsum(int*, int); // sum ot proper factor(因式求和,判断是不是完全数)
//主程序(C/OC)
int ptable[N+1] = {0}; // 储存质数表
int fact[N+1] = {0}; // 储存因式分解结果
int count1, count2, i;count1 = prime(ptable);for(i = 0; i <= P; i++) {//i为被判断的数count2 = factor(ptable, i, fact);//将i因式分解,通过质数表ptable,结果放到fact中if(i == fsum(fact, count2))printf("Perfect Number: %d\n", i);
}
printf("\n");
//求质数表,放到pNum中
int prime(int* pNum) {int i, j;int prime[N+1];for(i = 2; i <= N; i++)prime[i] = 1;for(i = 2; i*i <= N; i++) {if(prime[i] == 1) {for(j = 2*i; j <= N; j++) {if(j % i == 0)prime[j] = 0;}}}for(i = 2, j = 0; i < N; i++) {if(prime[i] == 1)pNum[j++] = i;}return j;
}//将i因式分解,通过质数表ptable,结果(都是质数)放到fact中
int factor(int* table, int num, int* frecord) {int i, k;for(i = 0, k = 0; table[i] * table[i] <= num;) {if(num % table[i] == 0) {frecord[k] = table[i];k++;num /= table[i];}elsei++;}frecord[k] = num;return k+1;
}//通过传入质数表和质数表长度,判断质数表所对应的数是不是完美数
int fsum(int* farr, int c) {int i, r, s, q;i = 0;r = 1;s = 1;q = 1;while(i < c) {do {r *= farr[i];q += r;//q为真因子相加结果i++;} while(i < c-1 && farr[i-1] == farr[i]);//如果因子中有两个相同质数s *= q;//某个因子(包括相同的)计算结束,保存在s中,然后while循环判断下一个质数r = 1;q = 1;}return s / 2;
}
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