数学 三角函数 sin 正弦、cos 余弦、tan 正切、cot 余切、sec 正割、csc 余割 简介
目录
图解定义
文字定义
三角函数诱导公式
1.三角函数诱导公式记忆方法
2.三角函数诱导公式
诱导公式一:终边相同的角的同一三角函数的值相等
诱导公式二:π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
诱导公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系
诱导公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系
诱导公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系
诱导公式六:π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系
3.三角函数化简与求值时注意事项
图解定义
正弦 (sine), 余弦 (cosine) 和 正切 (tangent) (英语符号简写为 sin, cos 和 tan) 是 直角三角形 边长的比:
对一个特定的角 θ 来说,不论三角形的大小,
这三个比是不变的
正割 函数: |
sec(θ) = 斜边 / 邻边 | (=1/cos) | ||
余割 函数: |
csc(θ) = 斜边 / 对边 | (=1/sin) | ||
余切 函数: |
cot(θ) = 邻边 / 对边 | (=1/tan) |
文字定义
在直角三角形中,当平面上的三点A、B、C的连线,AB、AC、BC,构成一个 直角三角形,其中∠ACB为 直角。对∠BAC而言, 对边(opposite)a=BC、 斜边(hypotenuse)c=AB、邻边(adjacent)b=AC,则存在以下关系:
基本函数 |
英文 |
缩写 |
表达式 |
语言描述 |
|
正弦函数 |
sine |
sin |
a/c |
∠A的对边比斜边 |
|
余弦函数 |
cosine |
cos |
b/c |
∠A的邻边比斜边 |
|
正切函数 |
tangent |
tan |
a/b |
∠A的对边比邻边 |
|
余切函数 |
cotangent |
cot |
b/a |
∠A的邻边比对边 |
|
正割函数 |
secant |
sec |
c/b |
∠A的斜边比邻边 |
|
余割函数 |
cosecant |
csc |
c/a |
∠A的斜边比对边 |
三角函数诱导公式
1.三角函数诱导公式记忆方法
奇变偶不变,符号看象限。即形如(2k+1)90°±α,则函数名称变为余名函数,正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。形如2k×90°±α,则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义:
k×π/2±a(k∈z)的三角函数值
(1)当k为偶数时,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号;
(2)当k为奇数时,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
2.三角函数诱导公式
诱导公式一:终边相同的角的同一三角函数的值相等
设α为任意锐角,弧度制下的角的表示:
sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)
cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)
tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)
cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)
诱导公式二:π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
设α为任意角,弧度制下的角的表示:
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
诱导公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
诱导公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
诱导公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
诱导公式六:π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
3.三角函数化简与求值时注意事项
①熟记特殊角的三角函数值;
②注意诱导公式的灵活运用;
③三角函数化简的要求是项数要最少,次数要最低,函数名最少,分母能最简,易求值最好。
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