文章目录

线性回归建模
线性回归损失函数、代价函数、目标函数
线性回归模型的求解方法
- 1. 梯度下降法
- 2. 最小二乘法
带有正则化项的回归模型
回归任务的评价指标
- 1. 平均绝对误差(MAE)
- 2. 均方误差(MSE)
- 3. 均方根误差(RMSE)
- 4. 决定系数(R2R^2R2)

线性回归建模

首先考虑一个情景，假设我们希望用线性回归预测房屋的售价。一般网上公开的房价预测数据集都至少包含房屋的面积、厅室数量等特征以及房屋的售价：

面积(x1x_1x1)	厅室数量(x2x_2x2)	价格(万元)(y)
64	3	225
59	3	185
65	3	208
116	4	508
……	……	……

对此数据，我们可以建立售价和特征属性之间的关系：
f(x)=w0+w1x1+w2x2f(x)=w_0+w_1x_1+w_2x_2 f(x)=w0+w1x1+w2x2
更一般的，假如我们有数据集：
{(x(1),y(1),((x(2),y(2)),...,((x(n),y(n))}xi=(x1;x2;x3;...;xd),yi∈R\{(x^{(1)},y^{(1)},((x^{(2)},y^{(2)}),...,((x^{(n)},y^{(n)})\} \\ x_i = (x_{1};x_{2};x_{3};...;x_{d}),y_i\in R {(x(1),y(1),((x(2),y(2)),...,((x(n),y(n))}xi=(x1;x2;x3;...;xd),yi∈R
其中，n 表示样本的个数，d表示特征的个数。则y与样本x的特征之间的关系为：
f(x)=w0+w1x1+w2x2+...+wdxd=∑i=0dwixi\begin{aligned} f(x) &= w_0 + w_1x_1 + w_2x_2 + ... + w_dx_d \\ &= \sum_{i=0}^{d}w_ix_i \\ \end{aligned} f(x)=w0+w1x1+w2x2+...+wdxd=i=0∑dwixi
其中，我们假设x0x_0x0=1，下文都作此假设。

线性回归损失函数、代价函数、目标函数

损失函数：度量单个样本的错误程度。常用的损失函数有：0-1损失函数、平方损失函数、绝对损失函数、对数损失函数等。
代价函数：度量所有样本的平均错误程度，也就是所有样本损失函数的均值。常用的代价函数包括均方误差(MSE)、均方根误差(RMSE)、平均绝对误差(MAE)等。
目标函数：代价函数与正则化函数的结合，也是最终要优化的函数。

我们的目标是找到一组合适的w，使得 f(x)≈yf(x)\approx yf(x)≈y 。对于回归问题，有许多性能度量方法，其中常用的一个是均方误差(MSE)，即：
J(w)=12∑j=1n(fw(x(j))−y(j))2J(w)=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}(f_{w}(x^{(j)})-y^{(j)})^2 J(w)=21j=1∑n(fw(x(j))−y(j))2
我们称J(w)J(w)J(w)为代价函数。注意到式子的系数不是1/n而是1/2，数是因为求导后的 J′(w)J'(w)J′(w) 系数为1，方便后续计算。为什么均方误差可以作为性能度量？可以从极大似然估计（概率角度）入手。

为了能够能精确的表达特征和目标值y的关系，引入了误差项ϵ，表示模型受到的未观测到的因素的影响。于是我们可以假设：
y(i)=wTx(i)+ϵ(i)y^{(i)} = w^T x^{(i)}+\epsilon^{(i)} y(i)=wTx(i)+ϵ(i)
使用回归模型需要满足许多前提假设，其中一个是要求ϵ独立同分布，且服从N(0,σ2)N(0, σ^2)N(0,σ2)的高斯分布(正态分布)：
p(ϵ(i))=12πσexp(−(ϵ(i))22σ2)p(\epsilon^{(i)}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\left(-\frac{(\epsilon^{(i)})^2}{2\sigma^2}\right) p(ϵ(i))=2πσ1exp(−2σ2(ϵ(i))2)
所以在给定w和x的前提下，y(i)y^{(i)}y(i) 服从N(wTx(i),σ2)N(w^T x^{(i)}, σ^2)N(wTx(i),σ2)的正态分布。
p(y(i)∣x(i);w)=12πσexp(−(y(i)−wTx(i))22σ2)p(y^{(i)}|x^{(i)};w) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\left(-\frac{(y^{(i)}-w^T x^{(i)})^2}{2\sigma^2}\right) p(y(i)∣x(i);w)=2πσ1exp(−2σ2(y(i)−wTx(i))2)
现在我们已经知道$y^{(i)} $的分布，但是我们不知道他的参数 wTx(i),σ2w^T x^{(i)}, σ^2wTx(i),σ2 ，极大似然估计法来正是用来解决此类问题的，假设样本独立同分布，最大化似然函数，来进行参数估计。最大化似然函数的原理说简单点就是在一次观测中，发生了的事件其概率应该大。概率大的事在观测中容易发生，所以我们希望让每一个p(y(i)∣x(i);w)p(y^{(i)}|x^{(i)};w)p(y(i)∣x(i);w)都最大化，这等效于他们的乘积最大化。于是不难得到似然函数：
L(w)=∏i=1n12πσexp(−(y(i)−wTx(i))22σ2)L(w) = \prod^n_{i=1}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\left(-\frac{(y^{(i)}-w^T x^{(i)})^2}{2\sigma^2}\right) L(w)=i=1∏n2πσ1exp(−2σ2(y(i)−wTx(i))2)
现在，目标转换为找到最佳的w，使得L(w)最大化，这就是极大似然估计的思想。我们通常对L(w)取对数，转换成加法的形式来方便计算：
L(w)=logL(w)=log∏i=1n12πσexp(−(y(i)−wTx(i))22σ2)=∑i=1nlog12πσexp(−(y(i)−wTx(i))22σ2)=nlog12πσ−1σ2⋅12∑i=1n((y(i)−wTx(i))2\begin{aligned} L(w) &= log L(w) \\ &= log \prod^n_{i=1}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\left(-\frac{(y^{(i)}-w^T x^{(i)})^2} {2\sigma^2}\right) \\ & = \sum^n_{i=1}log\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\left(-\frac{(y^{(i)}-w^T x^{(i)})^2}{2\sigma^2}\right) \\ & = nlog\frac{1}{{\sqrt{2\pi}\sigma}} - \frac{1}{\sigma^2} \cdot \frac{1}{2}\sum^n_{i=1}((y^{(i)}-w^T x^{(i)})^2 \end{aligned} L(w)=logL(w)=logi=1∏n2πσ1exp(−2σ2(y(i)−wTx(i))2)=i=1∑nlog2πσ1exp(−2σ2(y(i)−wTx(i))2)=nlog2πσ1−σ21⋅21i=1∑n((y(i)−wTx(i))2
因此，要最大化L(w)L(w)L(w)只需要最小化：
12∑i=1n((y(i)−wTx(i))2\frac{1}{2}\sum^n_{i=1}((y^{(i)}-w^T x^{(i)})^2 21i=1∑n((y(i)−wTx(i))2
这一结果即为均方误差的形式，因此使用J(w)J(w)J(w)作为代价函数是合理的。

线性回归模型的求解方法

1. 梯度下降法

随机初始化参数w，不端迭代，直到w达到收敛的状态，此时J(w)J(w)J(w)达到了最小值(有时候是局部最小值) ：
wj=wj−α∂J(w)∂ww_j=w_j-\alpha\frac{\partial{J(w)}}{\partial w} wj=wj−α∂w∂J(w)
上式中α为学习率，其中，
∂J(w)∂wj=∂∂wj12∑i=1n(fw(x)(i)−y(i))2=2∗12∑i=1n(fw(x)(i)−y(i))∗∂∂wj(fw(x)(i)−y(i))=∑i=1n(fw(x)(i)−y(i))∗∂∂wj(∑j=0dwjxj(i)−y(i)))=∑i=1n(fw(x)(i)−y(i))xj(i)\begin{aligned} \frac{\partial{J(w)}}{\partial w_j} &= \frac{\partial}{\partial w_j}\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(f_w(x)^{(i)}-y^{(i)})^2 \\ &= 2*\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(f_w(x)^{(i)}-y^{(i)})*\frac{\partial}{\partial w_j}(f_w(x)^{(i)}-y^{(i)}) \\ &= \sum_{i=1}^{n}(f_w(x)^{(i)}-y^{(i)})*\frac{\partial}{\partial w_j}(\sum_{j=0}^{d}w_jx_j^{(i)}-y^{(i)}))\\ &= \sum_{i=1}^{n}(f_w(x)^{(i)}-y^{(i)})x_j^{(i)} \\ \end{aligned} ∂wj∂J(w)=∂wj∂21i=1∑n(fw(x)(i)−y(i))2=2∗21i=1∑n(fw(x)(i)−y(i))∗∂wj∂(fw(x)(i)−y(i))=i=1∑n(fw(x)(i)−y(i))∗∂wj∂(j=0∑dwjxj(i)−y(i)))=i=1∑n(fw(x)(i)−y(i))xj(i)
于是有：
wj=wj+α∑i=1n(y(i)−fw(x)(i))xj(i)w_j = w_j + \alpha\sum_{i=1}^{n}(y^{(i)}-f_w(x)^{(i)})x_j^{(i)} wj=wj+αi=1∑n(y(i)−fw(x)(i))xj(i)
将上式向量化后得到：
w=w+α∑i=1n(y(i)−fw(x)(i))x(i)w = w + \alpha\sum_{i=1}^{n}(y^{(i)}-f_w(x)^{(i)})x^{(i)} w=w+αi=1∑n(y(i)−fw(x)(i))x(i)
可以看到上面的式子每次都迭代所有的样本，完成w的梯度下降，迭代过程如下图所示（越靠近内部，代价函数的值越小）：

有时候我们不能将所有数据一次性加载到内存中，那么可以每次只用部分样本(例如16，32，64等)进行梯度下降，此时的梯度下降法又叫做批梯度下降法。

极端情况下，我们每次只对一个样本进行梯度下降，此时的梯度下降法又叫做随机梯度下降法（SGD）。好处是相对于使用多个样本的梯度下降法，SGD每次迭代计算量都比较小，因此迭代速度很快。缺点是容易受到噪声点的干扰，导致梯度下降的方向不稳定，如下图所示：

因此要结合实际场景选择合适的梯度下降算法。

2. 最小二乘法

令：
x(i)=[x0(i)x1(i)x2(i)…xd(i)]x^{(i)} = \left[ \begin{array} {cccc} x_0^{(i)}\\ x_1^{(i)}\\ x_2^{(i)}\\ \ldots \\ x_d^{(i)} \end{array} \right] x(i)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡x0(i)x1(i)x2(i)…xd(i)⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
X=[(x(0))T(x(1))T(x(2))T…(x(n))T]X = \left[ \begin{array} {cccc} (x^{(0)})^T\\ (x^{(1)})^T\\ (x^{(2)})^T\\ \ldots \\ (x^{(n)})^T \end{array} \right] X=⎣⎢⎢⎢⎢⎡(x(0))T(x(1))T(x(2))T…(x(n))T⎦⎥⎥⎥⎥⎤
Y=[y(1)y(2)…y(n)]Y = \left[ \begin{array} {cccc} y^{(1)}\\ y^{(2)}\\ \ldots \\ y^{(n)} \end{array} \right] Y=⎣⎢⎢⎡y(1)y(2)…y(n)⎦⎥⎥⎤
则有：
fw(x)=Xwf_w(x)=Xw fw(x)=Xw
且每个样本的误差组成的矩阵为：
Xw−YXw -Y Xw−Y
进而有：
J(w)=12(Xw−Y)T(Xw−Y)J(w)=\frac{1}{2}(Xw-Y)^T(Xw-Y) J(w)=21(Xw−Y)T(Xw−Y)
由于这是个存在最小值的凸函数，故对w求导可得：
∂J(w)∂w=∂∂w12(Xw−Y)T(Xw−Y)=12∂∂w(wTXTXw−YTXw−wTXTY−YTY)=12(∂(Xw)T∂wXw+∂(Xw)T∂wXw−XTY−XTY−0)=XTXw−XTY\begin{aligned} \frac{\partial{J(w)}}{\partial w} &= \frac{\partial}{\partial w} \frac{1}{2}(Xw-Y)^T(Xw-Y) \\ &= \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial w} (w^TX^TXw - Y^TXw-w^T X^TY - Y^TY) \\ &= \frac{1}{2}(\frac{\partial (Xw)^T}{\partial w}Xw + \frac{\partial (Xw)^T}{\partial w}Xw-X^TY -X^TY - 0) \\ &= X^TXw - X^TY \end{aligned}\\ ∂w∂J(w)=∂w∂21(Xw−Y)T(Xw−Y)=21∂w∂(wTXTXw−YTXw−wTXTY−YTY)=21(∂w∂(Xw)TXw+∂w∂(Xw)TXw−XTY−XTY−0)=XTXw−XTY

可能用到的向量和矩阵求导公式：
∂aTx∂x=∂xTa∂x=a∂xTAx∂x=(A+AT)x\cfrac{\partial\boldsymbol{a}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{x}}{\partial\boldsymbol{x}}=\cfrac{\partial\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{a}}{\partial\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{a} \\ \\ \cfrac{\partial\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\boldsymbol{x}}{\partial\boldsymbol{x}}=(\mathbf{A}+\mathbf{A}^{\mathrm{T}})\boldsymbol{x} ∂x∂aTx=∂x∂xTa=a∂x∂xTAx=(A+AT)x

令导数等于0，得到：
w=(XTX)−1XTYw = (X^TX)^{-1}X^TY w=(XTX)−1XTY

注意到上式存在矩阵的逆运算，一般样本数量大于维度的时候矩阵可逆，利用最小二乘法可以得到目标函数的闭式解。但是，当数据维度大于样本数时，X 非满秩，则XTXX^TXXTX的结果根据：
rank(AB)≤min⁡(rankA,rankB)rank(AB)\le \min{(rankA, rankB)} rank(AB)≤min(rankA,rankB)
可知XTXX^TXXTX也不是满秩的，故不可逆，此时会有无穷多个解。

带有正则化项的回归模型

为了简化模型复杂程度，缓解过拟合，可以引入正则化项。根据使用的正则项，回归模型又可以细分为：lasso回归、岭回归（ridge回归）、ElasticNet回归。

Lasso回归使用L1L_1L1范数(向量中各个元素绝对值之和)来约束模型：
J(w)=12∑i=1n((y(i)−wTx(i))2+λ∥w∥1(1)J(w) = \frac{1}{2}\sum^n_{i=1}((y^{(i)}-w^T x^{(i)})^2 + \lambda \|w\|_1 \tag 1 J(w)=21i=1∑n((y(i)−wTx(i))2+λ∥w∥1(1)
岭回归使用L2L_2L2范数(向量各元素平方和的平方根)的平方来约束模型：
J(w)=12∑i=1n((y(i)−wTx(i))2+λ∥w∥22(2)J(w) = \frac{1}{2}\sum^n_{i=1}((y^{(i)}-w^T x^{(i)})^2 + \lambda \|w\|^2_2 \tag 2 J(w)=21i=1∑n((y(i)−wTx(i))2+λ∥w∥22(2)

L1L_1L1，L2L_2L2都有助于减缓过拟合，但是前者可以使得部分不重要的特征xjx_jxj对应的权重wjw_jwj变为0，可以起到特征选择的作用。

为了更好的理解，我们假设模型只有两个参数x1,x2x_1, x_2x1,x2，对应的权重为w1,w2w_1, w_2w1,w2，将公式(1)，(2)等号右边的两项分别绘制图像可以得到：

公式(1)，(2)的最优解应该是均方误差项和正则化项的折中，即出现在均方误差项和正则化项的交点处。从上图可以看到，采用L1L_1L1范数时，交点出现在w2w_2w2等于0的坐标轴上，意味着对于此模型特征x2x_2x2并没有起到作用，可以舍去。而采用L2L_2L2范数的话，交点更容易落在某个象限中，即$w_1, w_2 不等于0。总的来说，就是不等于0。总的来说，就是不等于0。总的来说，就是L_1范数比范数比范数比L_2$范数更容易得到稀疏的解。

ElasticNet回归则是同时使用了L1L_1L1，L2L_2L2来约束模型：
J(w)=12∑i=1n((y(i)−wTx(i))2+λ1∥w∥1+λ2∥w∥22J(w) = \frac{1}{2}\sum^n_{i=1}((y^{(i)}-w^T x^{(i)})^2 + \lambda_1 \left \| {w} \right \|_1 + \lambda_2\left \| {w} \right \|_2^2 J(w)=21i=1∑n((y(i)−wTx(i))2+λ1∥w∥1+λ2∥w∥22
ElasticNet回归在具有多个特征，并且在特征之间具有一定关联的数据中比较有用。

回归任务的评价指标

1. 平均绝对误差(MAE)

平均绝对误差也叫L1L_1L1范数损失，公式为：
MAE=1n∑i=1n∣(y(i)−y^(i)∣MAE = \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1} | (y^{(i)} - \hat y^{(i)} | MAE=n1i=1∑n∣(y(i)−y^(i)∣
其中n为样本的个数，y^(i)\hat y^{(i)}y^(i) 表示第i个样本的预测值。MAE能很好的刻画预测值和真实值的偏差，因为偏差有正有负，为了防止正负误差抵消，MAE计算的是误差绝对值的平均值。MAE 也可以作为损失函数，但是有些模型(如XGboost)必须要求损失函数有二阶导数，所以不能使用MAE进行优化。

加权平均绝对误差(WMAE)是MAE的变形，比如考虑时间因素，离当前时间越久的样本权重越低。公式为：
WMAE=1n∑i=1nw(i)∣(y(i)−y^(i)∣WMAE = \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1} w^{(i)}| (y^{(i)} - \hat y^{(i)} | WMAE=n1i=1∑nw(i)∣(y(i)−y^(i)∣
其中，w(i)w^{(i)}w(i)为第i个样本的权重。

2. 均方误差(MSE)

MSE 计算的是误差平方和的均值，公式如下：
MSE=1n∑i=1n(y(i)−y^(i))2MSE = \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1} (y^{(i)} - \hat y^{(i)} )^2 MSE=n1i=1∑n(y(i)−y^(i))2
MSE 它对误差有着更大的惩罚，但是他也对离群点敏感，健壮性可能不如MAE。

3. 均方根误差(RMSE)

MSE公式有一个问题是会改变量纲。因为公式平方了，比如说 y 值的单位是万元，MSE 计算出来的是万元的平方，对于这个值难以解释它的含义。RMSE 其实就是对MSE开平方根，公式如下：
RMSE=1n∑i=1n(y(i)−y^(i))2RMSE=\sqrt{\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1} (y^{(i)} - \hat y^{(i)} )^2} RMSE=n1i=1∑n(y(i)−y^(i))2
可以看到 MSE 和 RMSE 二者是呈正相关的，MSE 值大，RMSE 值也大，所以在评价线性回归模型效果的时候，使用 RMSE 就可以了。

4. 决定系数(R2R^2R2)

当数据集不同时，或者说数据集预测目标的量纲不同时，上面三种评估方式的结果就不好比较了。R2R^2R2把预测目标的均值作为参照，例如房价数据集的房价均值，学生成绩的成绩均值。现在我们把这个均值当成一个基准参照模型，也叫 baseline model。这个均值模型对任何数据的预测值都是一样的，可以想象该模型效果自然很差。基于此我们才会想从数据集中寻找规律，建立更好的模型。

R2R^2R2公式如下：
R2=1−∑i=1n(y(i)−y^(i))2∑i=1n(yˉ−y^(i))2=1−1n∑i=1n(y(i)−y^(i))21n∑i=1n(yˉ−y^(i))2=1−MSEVARR^2 = 1- \frac{\sum^{n}_{i=1} (y^{(i)} - \hat y^{(i)} )^2}{\sum^{n}_{i=1} (\bar y - \hat y^{(i)} )^2} = 1-\frac{\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}(y^{(i)} - \hat y^{(i)})^2}{\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}(\bar y - \hat y^{(i)})^2} = 1-\frac{MSE}{VAR} R2=1−∑i=1n(yˉ−y^(i))2∑i=1n(y(i)−y^(i))2=1−n1∑i=1n(yˉ−y^(i))2n1∑i=1n(y(i)−y^(i))2=1−VARMSE
R2R^2R2= 1，达到最大值。即分子为 0 ，意味着样本中预测值和真实值完全相等，没有任何误差。也就是说我们建立的模型完美拟合了所有真实数据，是效果最好的模型，R2R^2R2值也达到了最大。但通常模型不会这么完美，总会有误差存在，当误差很小的时候，分子小于分母，模型会趋近 1，仍然是好的模型，随着误差越来越大，$R^2 $也会离最大值 1 越来越远，直到出现下面的情况。

R2R^2R2= 0，此时分子等于分母，样本的每项预测值都等于均值。也就是说我们辛苦训练出来的模型和前面说的均值模型完全一样，还不如不训练，直接让模型的预测值全去均值。当误差越来越大的时候就出现了第三种情况。

R2R^2R2< 0 ，分子大于分母，训练模型产生的误差比使用均值产生的还要大，也就是训练模型反而不如直接去均值效果好。出现这种情况，通常是模型本身不是线性关系的，而我们误使用了线性模型，导致误差很大。

参考资料：

【机器学习12】线性回归算法评价指标：MSE、RMSE、R2_score
周志华《机器学习》
李航《统计学习方法第二版》

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