时间序列与R语言应用(part5)--移动平均MA模型及其可逆性

学习笔记

参考书目：《计量经济学》、《计量经济学模型与R语言应用》

文章目录

一阶移动平均过程
qqq阶移动平均过程
可逆性

一阶移动平均过程

在研究qqq阶移动平均过程之前，我们先以一阶移动平均过程开刀，即MA(1)MA(1)MA(1)序列, 一阶移动平均模型表达式为：
Yt=et−θet−1(1)Y_t=e_t-\theta e_{t-1}\tag{1} Yt=et−θet−1(1)
其中ete_tet和et−1e_{t-1}et−1都是白噪声，显然，E(Yt)=0,Var(Yt)=σe2(1+θ2)E(Y_t)=0, Var(Y_t)=\sigma_e^2(1+\theta^2)E(Yt)=0,Var(Yt)=σe2(1+θ2)，此时有：
Cov(Yt,Yt−1)=Cov(et−θet−1,et−1−θet−2)=−θCov(et−1,et−1)=−θσe2(2)Cov(Y_t,Y_{t-1})=Cov(e_t-\theta e_{t-1}, e_{t-1}-\theta e_{t-2})=-\theta Cov(e_{t-1}, e_{t-1})=-\theta \sigma_e^2\tag{2} Cov(Yt,Yt−1)=Cov(et−θet−1,et−1−θet−2)=−θCov(et−1,et−1)=−θσe2(2)
和：
Cov(Yt,Yt−2)=Cov(et−θet−1,et−2−θet−3)=0(3)Cov(Y_t,Y_{t-2})=Cov(e_t-\theta e_{t-1}, e_{t-2}-\theta e_{t-3})=0\tag{3} Cov(Yt,Yt−2)=Cov(et−θet−1,et−2−θet−3)=0(3)

对于k≥2,Cov(Yt,Yt−k)=0k\geq2, Cov(Y_t,Y_{t-k})=0k≥2,Cov(Yt,Yt−k)=0，即过程大于1阶滞后时，不存在自相关。

通过上面的信息，我们可以得到该MA(1)MA(1)MA(1)过程的1阶自相关函数为：
ρ1=Cov(Yt,Yt−1)Var(Yt)=−θ1+θ2(4)\rho_1=\frac{Cov(Y_t,Y_{t-1})}{Var(Y_t)}=\frac{-\theta}{1+\theta^2}\tag{4} ρ1=Var(Yt)Cov(Yt,Yt−1)=1+θ2−θ(4)
显然，若存在：
Yt=et−ηet−1(5)Y_t=e_t-\eta e_{t-1}\tag{5} Yt=et−ηet−1(5)
其中η=1/θ\eta=1/\thetaη=1/θ，则有1阶自相关函数：
ρ1=−η1+η2=−1/θ1+1/θ2=−θ1+θ2(6)\rho_1=\frac{-\eta}{1+\eta^2}=\frac{-1/\theta}{1+{1/\theta}^2}=\frac{-\theta}{1+\theta^2}\tag{6} ρ1=1+η2−η=1+1/θ2−1/θ=1+θ2−θ(6)

通过这个结果，我们看到θ\thetaθ被1/θ1/\theta1/θ代替时，自相关函数完全相同。

qqq阶移动平均过程

对于q阶移动平均过程:
Yt=et−θ1et−1−θ2et−2−...−θqet−q(7)Y_t=e_t-\theta_1 e_{t-1}-\theta_2 e_{t-2}-...-\theta_q e_{t-q}\tag{7} Yt=et−θ1et−1−θ2et−2−...−θqet−q(7)
其中,et,et−1,et−2,...,et−qe_t, e_{t-1}, e_{t-2}, ..., e_{t-q}et,et−1,et−2,...,et−q，都是白噪声，于是有：
E(Yt)=0γ0=Var(Yt)=(1+θ12+...+θq2)σe2γ1=Cov(Yt,Yt−1)=(−θ1+θ1θ2+θ2θ3+...+θq−1θq)σe2......γq−1=Cov(Yt,Yt−q+1)=(−θq−1+θ1θq)σe2γq=Cov(Yt,Yt−q)=−θqσe2E(Y_t)=0 \\\gamma_0=Var(Y_t)=(1+\theta_1^2+...+\theta_q^2)\sigma_e^2 \\\gamma_1=Cov(Y_t,Y_{t-1})=(-\theta_1+\theta_1 \theta_2 +\theta_2 \theta_3 +...+ \theta_{q-1} \theta_q)\sigma_e^2 \\......\\\gamma_{q-1}=Cov(Y_t,Y_{t-q+1})=(-\theta_{q-1}+\theta_1 \theta_q)\sigma_e^2 \\\gamma_{q}=Cov(Y_t,Y_{t-q})=-\theta_q \sigma_e^2 E(Yt)=0γ0=Var(Yt)=(1+θ12+...+θq2)σe2γ1=Cov(Yt,Yt−1)=(−θ1+θ1θ2+θ2θ3+...+θq−1θq)σe2......γq−1=Cov(Yt,Yt−q+1)=(−θq−1+θ1θq)σe2γq=Cov(Yt,Yt−q)=−θqσe2
对于k>q,Cov(Yt,Yt−k)=0k>q, Cov(Y_t,Y_{t-k})=0k>q,Cov(Yt,Yt−k)=0，即过程大于q阶滞后时，不存在自相关。则根据平稳性条件，有限阶的移动平均模型总是平稳的。

可逆性

根据上一个Blog的证明，自回归AR过程也可以被认为是一个无穷阶移动平均过程.但是由于某些原因，自回归表达式更便利。那么，移动平均模型可以被重新表示为自回归模型吗？

考虑MA(1)MA(1)MA(1)模型：
Yt=et−θet−1(8)Y_t=e_t-\theta e_{t-1}\tag{8} Yt=et−θet−1(8)

先把方程改写成et=Yt+θet−1e_t=Y_t+\theta e_{t-1}et=Yt+θet−1，再递推可得：
et=Yt+θ(Yt−1+θet−2)=Yt+θYt−1+θ2et−2e_t=Y_t+\theta(Y_{t-1}+\theta e_{t-2})=Y_t + \theta Y_{t-1} + \theta^2 e_{t-2} et=Yt+θ(Yt−1+θet−2)=Yt+θYt−1+θ2et−2
若∣θ∣<1|\theta|<1∣θ∣<1，我们可以对过去值无限重复以上的替代过程，得到表达式：
et=Yt+θYt−1+θ2Yt−2+...e_t=Y_t + \theta Y_{t-1} + \theta^2 Y_{t-2} + ... et=Yt+θYt−1+θ2Yt−2+...
或：
Yt=(−θYt−1−θ2Yt−2−...)+etY_t=(-\theta Y_{t-1} - \theta^2 Y_{t-2} -...) + e_t Yt=(−θYt−1−θ2Yt−2−...)+et
若∣θ∣<1|\theta|<1∣θ∣<1，我们可以看到MA(1)MA(1)MA(1)过程可以逆转换成一个无穷阶的自回归模型，当且仅当∣θ∣<1|\theta|<1∣θ∣<1，我们称MA(1)MA(1)MA(1)可逆。

对于一般的MA(q)MA(q)MA(q)模型，定义MA特征多项式为：
θ(x)=1−θ1x−θ2x2−...−θqxq\theta(x)=1-\theta_1 x -\theta_2 x^2 -...-\theta_q x^q θ(x)=1−θ1x−θ2x2−...−θqxq
和相应的MA特征方程：
1−θ1x−θ2x2−...−θqxq=01-\theta_1 x -\theta_2 x^2 -...-\theta_q x^q=0 1−θ1x−θ2x2−...−θqxq=0
可以证明MA(q)MA(q)MA(q)模型可逆，当且仅当MA特征方程根的模大于1.

在MA(1)MA(1)MA(1)过程中，我们看到θ\thetaθ被1/θ1/\theta1/θ代替时，会得到完全一样的自相关函数ρ1\rho_1ρ1。比如：Yt=et+2et−1Y_t=e_t+2 e_{t-1}Yt=et+2et−1和Yt=et+0.5et−1Y_t=e_t+0.5 e_{t-1}Yt=et+0.5et−1有相同的自相关函数,但是只有第2个以特征根为-2的MA过程是可逆的。

后记：本次Blog暂无R语言应用,本系列未完待续…困dog我了