正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF573E

题目大意

给出一个长度为nnn的序列aaa，求它的一个子序列bbb，要求最大化
∑i=1∣b∣bi×i\sum_{i=1}^{|b|}b_i\times ii=1∑∣b∣bi×i

1≤n≤105,∣ai∣≤1071\leq n\leq 10^5,|a_i|\leq 10^71≤n≤105,∣ai∣≤107

解题思路

首先我们考虑最暴力的dpdpdp，设fi,jf_{i,j}fi,j表示到现在到aaa的第iii个，然后选择了jjj个时的最大答案，那么我们有
fi,j=max{fi−1,j,fi−1,j−1+bi×j}f_{i,j}=max\{f_{i-1,j},f_{i-1,j-1}+b_i\times j\}fi,j=max{fi−1,j,fi−1,j−1+bi×j}
然后发现这个dpdpdp很难进行维护，我们尝试找下性质。
然后我没找到去看题解发现确实是性质题，对于一个iii，如果fi,jf_{i,j}fi,j从fi,j−1f_{i,j-1}fi,j−1转移过来，那么fi,j+1f_{i,j+1}fi,j+1也一定是从fi−1,jf_{i-1,j}fi−1,j转移过来的。

证明的话可以看这篇大佬的博客：https://www.luogu.com.cn/blog/Mrsrz/solution-cf573e

所以我们可以用一个平衡树去维护每个iii的dpdpdp值，然后我们就只需要二分出两个转移方式的中转点kkk，然后对于前面的我们不变，对于后面的我们在区间前插入一个fi,k−1f_{i,k-1}fi,k−1，然后就是一个区间加等差序列的操作，用懒标记维护即可。

时间复杂度：O(nlog⁡2n)O(n\log^2 n)O(nlog2n)

如果在平衡树上二分能做到O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)

当然还有另一种做法，考虑一个一个插入答案，能够证明不停插入会使得当前贡献最大的数也是最优的。

那么我们就只需要用分块维护每一个数的新贡献就好了。

时间复杂度：O(nn)O(n\sqrt n)O(nn)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10;
ll n,cnt,rt,t[N][2],dat[N],siz[N];
ll w[N],lazy[N],lazy2[N],ans;
ll Newp(ll val){w[++cnt]=val;dat[cnt]=rand();siz[cnt]=1;return cnt;
}
ll Cpy(ll x)
{return Newp(w[x]);}
void Update(ll x,ll val,ll dr){w[x]+=val*(siz[t[x][0]]+dr);lazy[x]+=val*dr;lazy2[x]+=val;
}
void PushDown(ll x){if(lazy[x]){if(t[x][0])w[t[x][0]]+=lazy[x],lazy[t[x][0]]+=lazy[x];if(t[x][1])w[t[x][1]]+=lazy[x],lazy[t[x][1]]+=lazy[x];lazy[x]=0;}if(lazy2[x]){if(t[x][0])Update(t[x][0],lazy2[x],0);if(t[x][1])Update(t[x][1],lazy2[x],siz[t[x][0]]+1);lazy2[x]=0;}return;
}
void PushUp(ll x){siz[x]=siz[t[x][0]]+siz[t[x][1]]+1;return;}
void Split(ll &x,ll &y,ll p,ll val){if(!p){x=y=0;return;}PushDown(p);if(siz[t[p][0]]<=val)x=p,Split(t[x][1],y,t[p][1],val-siz[t[p][0]]-1);else y=p,Split(x,t[y][0],t[p][0],val);PushUp(p);
}
ll Merge(ll x,ll y){if(!x||!y)return x|y;PushDown(x);PushDown(y);if(dat[x]<dat[y]){t[x][1]=Merge(t[x][1],y);PushUp(x);return x;}else{t[y][0]=Merge(x,t[y][0]);PushUp(y);return y;}
}
ll GetVal(ll &rt,ll pos){ll x,y,z;Split(x,z,rt,pos);Split(x,y,x,pos-1);ll ans=w[y];x=Merge(x,y);rt=Merge(x,z);return ans;
}
void GetAns(ll x){if(!x)return;PushDown(x);ans=max(ans,w[x]);GetAns(t[x][0]);GetAns(t[x][1]);return;
}
bool check(ll x,ll w){ll a=GetVal(rt,x);ll b=GetVal(rt,x-1);return a>b+x*w;
}
signed main()
{scanf("%lld",&n);rt=Newp(0);rt=Merge(rt,Newp(-1e18));for(ll i=1,k;i<=n;i++){scanf("%lld",&k);ll l=1,r=i;while(l<=r){ll mid=(l+r)>>1;if(check(mid,k))l=mid+1;else r=mid-1;}ll x,y,z,d;Split(x,z,rt,l-1);Split(z,d,z,n-1);Split(x,y,x,l-2);d=Cpy(y);z=Merge(d,z);Update(z,k,l);rt=x;rt=Merge(rt,y);rt=Merge(rt,z);}GetAns(rt);printf("%lld\n",ans);return 0;
}```

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CF573E-Bear and Bowling【dp,平衡树】

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