Polya计数法总结 POJ24092154SGU282

Polya计数法原理可以看符文杰的集训队论文<<Polya原理及其应用>>、题目可以看陈瑜希的论文<<Polya计数法的应用>>

解题三步骤：

1、确定置换群（注意考虑周全）

2、计算每个置换下的循环节数目

3、带入公式

有时候置换数目太多，而许多置换具有相同的循环节数目，可以统一起来考虑，进行优化。

下面是三道例题，难度递增，第一题是裸题，后面两题都用到了上面说的优化。

1、POJ2409

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m;
ll GCD(ll a,ll b)
{if(b==0)return a;return GCD(b,a%b);
}
ll Pow(ll a,ll b)
{ll ret=1,c=a;while(b){if(b&1)ret*=c;c*=c;b>>=1;}return ret;
}
int main()
{ll i,j,ans;while(cin>>m>>n){if(n==0&&m==0)break;ans=0;for(i=0;i<n;++i)ans+=Pow(m,GCD(n,i));if(n&1)ans+=n*Pow(m,n/2+1);else{ans+=n/2*Pow(m,n/2+1);ans+=n/2*Pow(m,n/2);}cout<<ans/(2*n)<<endl;}return 0;
}

2、POJ2154

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
//typedef long long LL;
int Prime[36000]; //一个数n大于sqrt(n)的质因子最多只有一个
bool Flag[36000];
int tot;
void Get_Prime_Table()
{tot=0;memset(Flag,false,sizeof(Flag));int i,j;for(i=2;i<36000;i++){if(!Flag[i]){for(j=2*i;j<36000;j+=i)Flag[j]=true;}}for(i=2;i<36000;++i)if(!Flag[i])Prime[tot++]=i;
//    cout<<tot<<endl;
}
int Eular(int n,int p)
{int ret=n,i;for(i=0;i<tot&&Prime[i]*Prime[i]<=n;++i){if(n%Prime[i]==0){ret-=ret/Prime[i];while(n%Prime[i]==0)n/=Prime[i];}}if(n!=1)ret-=ret/n;return ret%p;
}
int Pow(int a,int b,int p)
{int ret=1,c=a%p;while(b){if(b&1)(ret*=c)%=p;(c*=c)%=p;b>>=1;}return ret;
}
int main()
{int X;int N,P,i,ans;scanf("%d",&X);Get_Prime_Table();while(X--){scanf("%d %d",&N,&P);ans=0;for(i=1;i*i<=N;++i){if(i*i==N){
//                cout<<i<<endl;cout<<Eular(i,P)<<endl;
//                cout<<"................."<<endl;  (ans+=Eular(i,P)*Pow(N,i-1,P))%=P;}else if(N%i==0){
//                cout<<i<<endl;
//                cout<<Eular(i,P)<<endl;
//                cout<<Eular(N/i,P)<<endl;
//                cout<<"....................."<<endl;(ans+=Eular(i,P)*Pow(N,N/i-1,P)+Eular(N/i,P)*Pow(N,i-1,P))%=P;}}printf("%d\n",ans);}return 0;
}

3、SGU282

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL Mod;
LL L[55],Tot,K[55],N,M,Num,Div;
LL GCD(LL a,LL b)
{if(b==0)return a;return GCD(b,a%b);
}
LL Pow(LL a,LL b)
{LL c=a%Mod,ret=1;while(b){if(b&1)(ret*=c)%=Mod;(c*=c)%=Mod;b>>=1;}return ret;
}
void Init()
{Tot=0,Num=1;memset(K,0,sizeof(K));LL i;for(i=2;i<=N;++i){(Num*=i)%=Mod;}Div=Pow(Num,Mod-2);
}
LL Fact(LL a)
{LL i,ret=1;for(i=2;i<=a;++i){(ret*=i)%=Mod;}return ret;
}
LL DFS_Polya(LL remain,LL limit)
{if(remain==0){LL i,j,t1=1,t2=0;memset(K,0,sizeof(K));for(i=0;i<Tot;++i){(t1*=L[i])%=Mod;t2+=L[i]/2;K[L[i]]++;}for(i=1;i<=N;++i){(t1*=Fact(K[i]))%=Mod;}for(i=0;i<Tot;++i){for(j=i+1;j<Tot;++j){t2+=GCD(L[i],L[j]);}}return (((Num*Pow(t1,Mod-2))%Mod)*Pow(M,t2))%Mod;}else{LL i,j,ret=0;for(i=1;i<=limit&&i<=remain;++i){L[Tot++]=i;(ret+=DFS_Polya(remain-i,i))%=Mod;Tot--;}return ret;}
}
int main()
{scanf("%I64d %I64d %I64d",&N,&M,&Mod);Init();printf("%I64d\n",(DFS_Polya(N,N)*Div)%Mod);return 0;
}

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