论文阅读《Defining Pseudorange Integrity

摘要

航空应用最关键的要求之一是完好性。对于第I类精密进近，国际民航组织对每一种进近系统出现导致误导信息故障的概率规定了10−710^{-7}10−7的完好性要求。由于GNSS的性能会因卫星几何形状的不同而发生巨大变化，因此定义了位置误差的数学边界，以评估对特定进近的要求。这些边界是水平方向保护水平和垂直方向保护水平（分别是HPL和VPL），在RTCA和ICAO文件中定义。

保护水平方程建立在假设误差分量（伪距误差）准确表征为方差已知的零均值正态分布的基础上。不幸的是，这一假设尚未得到证实。事实上，测试表明可能存在小的残差均值，并且误差分布的尾部不一定是正态分布。为了推广单个伪距误差分量的完好性要求，必须考虑这些影响。

本文证明了零均值的假设，正态误差分布的要求可以被误差分布是对称的单峰的所替代，同时它的累积分布函数被正态分布所包络（包络小于均值的误差，包络大于均值的误差）。这一结果可以扩展到容纳非零的平均值，这可以通过扩大假设的正态误差模型的方差来解释。本文介绍了三种扩大方差的方法。

介绍

国际民航组织（ICAO）负责制定无线电导航辅助设备的标准。国际民航组织附件10对完好性的定义为：
ILS Integrity：质量关系到对设备提供的信息的正确性的信任。完好性的水平……是用不发出虚假制导信号的概率来表示的。
Integrity [GNSS]：对整个系统提供的信息的正确性的信任度量。完好性包括系统向用户提供及时和有效的警告的能力。

这些定义的基本特征是，完好性是通过定义其逆，完好性风险，来指定的。完好性风险是提供超出容忍度（错误制导）的信号的概率。此外，需求是根据每种进近定义的，这意味着每种进近都期望满足这个需求，当系统被声明为可操作的。

正如ICAO对ILS的指导材料中所述，
在监测系统的设计和操作方面必须特别小心，以便确保在监测系统本身发生故障时，导航部件将被移除或停止发射。

由于卫星几何形状变化引起的非平稳定位特性，将这一要求应用到GNSS是一项困难的任务。最终，社区同意建立一个数学模型来实时计算完好性风险，同时考虑到卫星的几何形状和其它非平稳特性。采用这种方法有几个目标，最显著的是最大化飞机的灵活度，以整合GNSS与其它传感器数据（例如，惯性系统和雷达高度计），并提供操作灵活性，以支持未来的操作与独特的位置误差限制公差（告警门限）。实现这些目标仍然难以实现，在伪距域定义完好性的动机如下所述。

保护水平

由RTCA和ICAO开发的数学模型被称为保护水平。它们在[3,4]中详细描述；这里总结了垂直方向保护水平。

对于天基增强系统（SBAS），如美国联邦航空局的广域增强系统，垂直方向保护水平（VPL）被定义为：
VPLSBAS=KV,PA∑i=1NsU,i2σi2(1)VPL_{SBAS}=K_{V,PA}\sum_{i=1}^Ns_{U,i}^2\sigma_i^2\tag{1} VPLSBAS=KV,PAi=1∑NsU,i2σi2(1)
其中：
σi2=σi,flt2+σi,UIRE2+σi,air2+σi,tropo2(2)\sigma_i^2=\sigma_{i,flt}^2+\sigma_{i,UIRE}^2+\sigma_{i,air}^2+\sigma_{i,tropo}^2\tag{2} σi2=σi,flt2+σi,UIRE2+σi,air2+σi,tropo2(2)
S=(GT⋅W⋅G)−1⋅GT⋅W(3)S=(G^T\cdot W \cdot G)^{-1}\cdot G^T\cdot W \tag{3} S=(GT⋅W⋅G)−1⋅GT⋅W(3)

对于地基增强系统（GBAS），如美国联邦航空局的局域增强系统（LAAS），有两种不同的保护水平。无故障假设（H0H_0H0）的VPL定义为：
VPLGBAS,H0=Kffmd∑i=1Nsi,vert2σi2(4)VPL_{GBAS,H_0}=K_{ffmd} \sqrt{\sum_{i=1}^Ns_{i,vert}^2\sigma_i^2}\tag{4} VPLGBAS,H0=Kffmdi=1∑Nsi,vert2σi2(4)
其中：
σi2=σpr_gnd,i2+σtropo,i2+σair,i2+σiono,i2(5)\sigma_i^2=\sigma_{pr\_gnd,i}^2+\sigma_{tropo,i}^2+\sigma_{air,i}^2+\sigma_{iono,i}^2\tag{5} σi2=σpr_gnd,i2+σtropo,i2+σair,i2+σiono,i2(5)

为了评估潜在故障条件下的分险，假设单个地面参考接收机存在潜在故障，飞机会计算出不同的保护级别。假设参考接收机jjj存在错误的测量值，则故障假设（H1H_1H1）的VPL定义为：
VPLGBAS,H1,j=∣∑i=1Nsi,vertBi,j∣+Kmd∑i=1Nsi,vert2σi,H12(6)VPL_{GBAS,H_1,j}=\lvert\sum_{i=1}^Ns_{i,vert}B_{i,j}\rvert+K_{md}\sqrt{\sum_{i=1}^Ns_{i,vert}^2\sigma_{i,H1}^2}\tag{6} VPLGBAS,H1,j=∣i=1∑Nsi,vertBi,j∣+Kmdi=1∑Nsi,vert2σi,H12(6)
其中：
σi,H12=Mi⋅σpr_gnd,i2Mi−1+σair,i2+σtropo,i2+σiono2(7)\sigma_{i,H1}^2=\frac{M_i\cdot \sigma_{pr\_gnd,i}^2}{M_i-1}+\sigma_{air,i}^2+\sigma_{tropo,i}^2+\sigma_{iono}^2 \tag{7} σi,H12=Mi−1Mi⋅σpr_gnd,i2+σair,i2+σtropo,i2+σiono2(7)
SSS矩阵与SBAS定义的SSS矩阵相同。

保护水平的前提是伪距误差分量具有已知方差和零均值的正态分布。首先，伪距误差分量（即空间信号、机载、对流层、电离层）通过卷积它们的误差分布组合起来（公式3、5和7）；如果它们的分布是N(0,σ2)N(0,\sigma^2)N(0,σ2)那么得到的伪距误差分布是N(0,σ2)N(0,\sigma^2)N(0,σ2)，其中方差由组成方差的平方根定义。

然后利用加权几何矩阵的伪逆投影将伪距误差投影到垂直轴上。将垂直误差求和，卷积伪距域内的误差分布（公式1,4和6）。

因此，假设方差已知且分布为正态分布，保护水平是完好性风险的直接计算。

PDF包络

误差的分布可能不是正态分布，或者没有足够的数据来显示该分布。这是SBAS和GBAS的情况，在这些情况下，有一些误差分量不能很好地用正态分布来描述（例如，多路径误差）。航空界必须找到某种方法来指定误差的特征，这样保护水平方程才有效，但又不要求它们在已知方差的情况下完全是正态分布。

当RTCA第一次调查这个问题时，考虑了pdf包络。即，xxx的分布可以说是由yyy随机变量pdf包络：
px(t)≤py(t)(8)p_x(t) \leq p_y(t) \tag{8} px(t)≤py(t)(8)
然而，px(t)p_x(t)px(t)和py(t)p_y(t)py(t)都是概率密度函数，它们的积分都是1。这个约束不可能对所有的ttt值都成立。RTCA最初考虑对t≤−Lσt\leq-L\sigmat≤−Lσ和t≥Lσt\geq L\sigmat≥Lσ区间应用这个pdf包络，并对LLL的必要取值进行了研究。

构造假设分布，通过数值卷积和积分确定LLL的对应值。分析表明，由于涉及卷积的数量，尾部概率对伪距误差分布的核心形状和特征非常敏感。此外，还没有确定将一个分布限定为“最坏情况”的方法。如果没有一个假定的误差分布，就不能确定位置域的边界。

CDF包络

cdf包络的推出是一个重大突破。包络定义如下：
ϕO(x)≤ϕa(x)forallx≤0,andϕO(x)≥ϕa(x)forallx>0(9)\phi_O(x) \leq \phi_a(x)\ for\ all\ x \leq 0,\ and\ \phi_O(x)\geq\phi_a(x)\ for\ all\ x>0 \tag{9} ϕO(x)≤ϕa(x) for all x≤0, and ϕO(x)≥ϕa(x) for all x>0(9)
图1描述了这一点，它显示了产生CDF包络的aaa的累积分布函数的允许区域。

图1 CDF包络

从概念上讲，cdf包络允许违反pdf包络，前提是违反的数量可以通过超出尾部的pdf包络限制来补偿。这如图2所示，它显示了正态pdf的一部分被移向0，但满足cdf包络条件。这种方法背后的前提是，它必须总是能够让误差小于假设模型，即使这意味着某个特定的误差值变得更有可能。

图2 对PDF的包络效应虽然cdf包络应该产生可接受的位置边界是很直观的，但是需要一个数学证明来推导准确的伪距完好性要求。此证明是在[5]中开发的，并在附录1中重复。它表明，当每一个贡献误差分量都是被包络时，总的误差的分布也将会被包络，并且是对称的和单峰的分布。

由于这种关系是一般的，它适用于线性组合中任意数量的误差源，并且证明了保护水平会超过位置误差。

对称性和单峰性的灵敏度

使用标准的测试方法很难保证对称性和严格的单峰性。虽然在附录1中定义的数学证明依赖于这些特性，但从概念上讲，这些特性不应该主导最终的cdf。对称性的要求来自公式（10），并不是严格必要的。具体的说，这是充足的，当
∫0∞dx⋅pa(z−x)⋅[Φb(x)−ΦOb(x)]≤∫0∞dx⋅pa(z+x)⋅[ΦOb(−x)−Φb(−x)](10)\int_0^\infty dx\cdot p_a(z-x)\cdot [\Phi_b(x)-\Phi_{O_b}(x)] \leq \int_0^\infty dx\cdot p_a(z+x)\cdot [\Phi_{O_b}(-x)-\Phi_b(-x)] \tag{10} ∫0∞dx⋅pa(z−x)⋅[Φb(x)−ΦOb(x)]≤∫0∞dx⋅pa(z+x)⋅[ΦOb(−x)−Φb(−x)](10)
对称性保证对每一个xxx都是这样的，当满足积分不等式时，包络成立。

偏差的影响

cdf包络要求分量的分布的平均值恰好为0：包络概念不能容纳非零的平均值。回想一下，正如每个进近的要求如所定义的那样，如果一个特定的进近存在偏差分量，那么就存在平均值。然而，随机误差的相关性是这样的，在任何一种进近中，测试数据都会表明存在残差。没有必要或尝试用包络的概念解决这类误差：相反，如果在特定的系统配置（例如，没有卫星运动的情况下）中可以在无限长的时间内收集数据，那么值得关注的残差均值是存在的。假设某一特定系统配置（包括卫星几何）的误差分布来自一个平稳过程，因此其均值就是该过程的均值。

残差均值存在于任何微分系统中都是可行的。表1列出了可以创建均值的误差分量。对误差分量，如多径，均值是指在特定方位角和仰角下的测距信号的平均多径误差，在视点所经历的环境条件范围内进行评估。收集足够多的数据来确定这个平均值是不切实际的：相反，分析可以用来包络这个平均值。

表1 带有潜在均值的误差源

零均值误差	讨论
地平面多径	由于地平面的位置及其反射率的变化，这个误差是不可重复的，但它可能有一个长期的平均值。
来自障碍物或地形的多径	大的多径误差可能由障碍物或不寻常的地形引起（例如，从设备棚屋发射过来）。
对流层误差（仅SBAS）	SBAS使用一个全球模型来修正对流层，它可能有一个局部平均值。
信道间的偏差	残余的（未校正的）接收机误差
天线相位中心误校正	对于多径限制天线，其相位中心随仰角的变化而变化，对天线相位中心的标定至关重要。
相对测量误差	这个误差受到测量精度的单独要求的限制。这个误差与卫星和卫星几何无关，必须分别计算。

考虑残差均值可能存在并且有界，有几种方法可以解决该均值的影响，并确保保护水平方程仍然有效。均值定义为：
μv=∑i=1Nsi,vertμi(11)\mu_v=\sum_{i=1}^N s_{i,vert}\mu_i \tag{11} μv=i=1∑Nsi,vertμi(11)
其中：
μi=μair+μsis+μtropo+μiono(12)\mu_i=\mu_{air}+\mu_{sis}+\mu_{tropo}+\mu_{iono} \tag{12} μi=μair+μsis+μtropo+μiono(12)
如果伪距中的均值可以被限制在一个限度内，那么就可以确定两种基本的方法来补偿该均值。

一种方法是将偏差的大小限制为伪距标准差的一部分。这种方法称为相对偏差法。在其基本形式中，总伪距偏差相对于总伪距标准差受到约束，因此：
∣μi∣≤βσi(13)\lvert \mu_i \rvert \leq \beta \sigma_i \tag{13} ∣μi∣≤βσi(13)
在此边界下，垂直偏差与垂直标准差之比定义为：
μvσv=β∑i=1N∣siσi∣∑i=1Nsi2σi2(14)\frac{\mu_v}{\sigma_v}=\frac{\beta\sum_{i=1}^N|s_i\sigma_i|}{\sum_{i=1}^Ns_i^2\sigma_i^2}\tag{14} σvμv=∑i=1Nsi2σi2β∑i=1N∣siσi∣(14)
Shively已经证明，当投影的垂直方差都相等时（siσi=sjσjs_i\sigma_i=s_j\sigma_jsiσi=sjσj）,这个比例会有一个上界，产生如下限制：
μvσv≤βN(15)\frac{\mu_v}{\sigma_v} \leq\beta \sqrt N \tag{15} σvμv≤βN(15)
图3显示了这个比值作为NNN的函数的散点图，使用Martinez星座，并考虑所有GPS卫星停运组合；一个全球网格，并假设β=1\beta=1β=1。假定名义WAAS权重。由此可见，公式（15）中定义的理论极限成立得很好，在给定GPS星座的情况下，最坏情况（垂直方差相等）是一种现实情况。

图3 相对偏差比与N

偏差方法必须扩展到处理单独的伪距误差分量。例如，可以为每个误差贡献（机载、空间信号、对流层和电离层）编写相对偏差要求，因此公式（15）必须修改，以反映四倍于此的卷积（相对极限将增加到2βN2\beta \sqrt N2βN）。这就要求每个分量都有一个均值，这个均值是标准差的一个零头。

约束残差均值的第二种方法是定义残差均值的绝对极限。在这种情况下，
∣μi∣≤ε(16)|\mu_i| \leq \varepsilon \tag{16} ∣μi∣≤ε(16)
垂直偏差与垂直标准差之比定义为：
μvσv=ε∑i=1N∣si∣∑i=1Nsi2σi2(17)\frac{\mu_v}{\sigma_v}=\frac{ \varepsilon \sum_{i=1}^N|s_i|}{\sum_{i=1}^Ns_i^2\sigma_i^2} \tag{17} σvμv=∑i=1Nsi2σi2ε∑i=1N∣si∣(17)
这个表达式还没有找到理论上的界限。这个比值是在上述相同条件下计算的，并在图4中表示为NNN的函数。在图5中，这个比值也被绘制成σv\sigma_vσv的函数。在这两幅图中都不存在显著的趋势，这表明绝对偏差比并不强烈依赖于这两种特征。

图4 绝对偏差比和N

图5 绝对偏差比和sigma_v

由于没有数学表达式限制这个偏差比例，因此也有必要研究这个比例对权重矩阵中使用的权值的敏感性。评估了三个加权函数：一个名义上的WAAS加权函数，一个未加权解，以及一个假设系统，其权重随着仰角的增加而变差（与名义上的SBAS和GBAS性能相反）。这些情况下的加权函数如图6所示。绝对偏差比值的比较如图7所示。可以看出，绝对偏差比值对所使用的权值是敏感的：这是该方法的一个严重限制，因为地面系统（必须补偿任何残留的偏差）不知道机载系统正在使用的权值。另一方面，这种方法的一个优点是它避免了与四个不同的伪距误差分量相关的任何困难：它们各自界限的总和等于ε\varepsilonε，但是分量偏差和它们的标准差之间没有必要的关系。

图6 权重函数

图7 绝对偏差比值对权重的灵敏度

在这两种方法中，必须扩大模型的方差，以确保保护水平方程是有效的。这个通过扩大一个或多个模型方差来实现的。

一个均值选择

这两种方法都利用了已知的保护水平方程来确保它们的位置边界是有效的，但这两种方法都没有吸引力。这与本文引言中所述的两个目标不一致：即，飞机有一个完整和定义的残差模型，以实现灵活的集成和尚未定义的操作要求。

另一种方法是质疑残差均值的存在。由于环境变化（如降冰或温度变化对地平面反射率的影响）等因素，表1中所有因素在系统的整个生命周期内都不会保持不变。可以使用分析方法来约束这些残差效应，并将其建模为随机变量，而不是最坏情况下的偏差。

由于附录1中的证明仅依赖于包络分布的对称性和单峰性，因此可以创建任何具有这些性质的参考分布作为包络分布。在这种情况下，可以扩大模型方差，以保证保护水平（给定KKK）或确保方差本身被精确建模。

如果表1中的误差模型与相对较小且均匀分布的误差一致，则图8显示了几个可以用作参考分布的示例分布。这些分布都有相同的尾部，与单位方差的正态分布相同，但分布的核心被均匀分布所取代。图9显示了这些潜在的模型分布的cdf，可以看到它们允许一些侵入图1中所示的禁止区域。

图8 示例包络分布

图9 示例包络分布的CDF

在多次卷积过程中放大非名义上的特征的最坏情况几何矩阵是当所有垂直方差相等时（这些条件在图3中显示存在，其对某些几何达到了理论界限）。假设其中一种几何形状，卷积的效果可以通过对图8所示的分布进行卷积来直接评估。对于只有4颗卫星的情况，得到的垂直cdf如图10所示。如图所示，卷积将新cdf与正态cdf相交的点推到分布上更远的地方。

图10 四颗卫星情况下的示例包络分布的垂直误差的CDF

这种影响可以直接建模，并且仍然可以满足包络条件，这意味着保护水平方程是可以确定的。图11显示了一个简单的例子，它表明了确保KKK因子5.33（预期来自正态分布）超过误差分布1−10−71-10^{-7}1−10−7所必需的总伪距标准差的扩大百分比。

图11 标准差的扩大

结论及未来工作

保护水平方程和附录1中的证明是由位置域完好性要求导出伪距级要求的基础。单峰性、对称性和包络条件已被证明足以保证正确建模完好性风险。然而，对必要条件的搜索继续减少开发风险，并可能获得一些系统可用性。

此外，还介绍了几种处理小残差手段的方法。这些方法的目的不是为了允许部署存在无法解释的残留误差的系统，而是为了补偿那些可以通过分析包络但不需要校准和消除的小残留误差。这些方法的最佳应用方式是将它们与造成误差的来源分析联系起来，并使用有限数量的测试来证明误差分析是正确的。

致谢

作者要感谢RTCA 159特别委员会和ICAO GNSS Panel工作小组B在这方面做出的重大贡献。这些标准制定论坛为讨论和制定要求提供了一个出色的场所，个人、公司和政府机构之间的合作也非常出色。

参考文献

略

附录1——包络证明

定义：
a,ba,ba,b：随机变量
ObO_bOb：与随机变量bbb的建模（包络）误差相关的随机变量
pa(x)p_a(x)pa(x)：随机变量aaa的概率密度函数
pb(x)p_b(x)pb(x)：随机变量bbb的概率密度函数
pOb(x)p_{Ob}(x)pOb(x)：满足包络bbb要求的包络分布的pdf
ϕb(x)\phi_b(x)ϕb(x)：随机变量aaa的累积概率密度函数，从负无穷到xxx求值
ϕOb(x)\phi_{Ob}(x)ϕOb(x)：满足包络bbb要求的包络分布的cdf

证明-第1部分

目的是证明由(a+Ob)(a+O_b)(a+Ob)之和得到的分布包络了由(a+b)(a+b)(a+b)之和得到的分布。换句话说，
ϕa+b(x)≤ϕa+Ob(x)forallx≤0,andϕa+b(x)≥ϕa+Ob(x)forallx>0(18)\phi_{a+b}(x) \leq \phi_{a+Ob}(x) \ for\ all \ x \leq0, \ and \ \phi_{a+b}(x) \geq\phi_{a+Ob}(x) \ for \ all \ x > 0 \tag{18} ϕa+b(x)≤ϕa+Ob(x) for all x≤0, and ϕa+b(x)≥ϕa+Ob(x) for all x>0(18)
aaa和bbb的和的pdf是由aaa和bbb的pdf的卷积决定的，因此：
pa+b(y)=∫−∞∞pa(x)pb(y−x)dx(19)p_{a+b}(y)=\int_{-\infty}^{\infty} p_a(x)p_b(y-x)dx \tag{19} pa+b(y)=∫−∞∞pa(x)pb(y−x)dx(19)
对应的cdf为，
Φa+b(z)=∫−∞zpa+b(y)dy(20)\Phi_{a+b}(z)=\int_{-\infty}^zp_{a+b}(y)dy \tag{20} Φa+b(z)=∫−∞zpa+b(y)dy(20)

⇒∫−∞zdy∫−∞∞dx⋅pa(x)pb(y−x)(21)\Rightarrow \int_{-\infty}^zdy\int_{-\infty}^{\infty}dx\cdot p_a(x)p_b(y-x) \tag{21} ⇒∫−∞zdy∫−∞∞dx⋅pa(x)pb(y−x)(21)
⇒∫−∞∞dx⋅pa(x)∫−∞zpb(y−x)dy(22)\Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty}dx \cdot p_a(x) \int_{-\infty}^zp_b(y-x)dy \tag{22} ⇒∫−∞∞dx⋅pa(x)∫−∞zpb(y−x)dy(22)
⇒∫−∞∞dxpa(x)⋅Φb(z−x)(23)\Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty}dx p_a(x) \cdot \Phi_b(z-x) \tag{23} ⇒∫−∞∞dxpa(x)⋅Φb(z−x)(23)
结合公式（22）和公式（18）的x≤0x\leq0x≤0部分，必须证明，对于所有z≤0z\leq0z≤0，
∫−∞∞dx⋅pa(x)⋅Φb(z−x)≤∫−∞∞dx⋅pa(x)⋅ΦOb(z−x)(24)\int_{-\infty}^{\infty}dx \cdot p_a(x) \cdot \Phi_b(z-x) \leq \int_{-\infty}^{\infty}dx\cdot p_a(x) \cdot \Phi_{O_b}(z-x) \tag{24} ∫−∞∞dx⋅pa(x)⋅Φb(z−x)≤∫−∞∞dx⋅pa(x)⋅ΦOb(z−x)(24)
将积分分成两部分，有：
∫−∞zdx⋅pa(x)⋅Φb(z−x)+∫z∞dx⋅pa(x)⋅Φb(z−x)≤∫−∞zdx⋅pa(x)⋅ΦOb(z−x)+∫z∞dx⋅pa(x)⋅ΦOb(z−x)\int_{-\infty}^zdx \cdot p_a(x) \cdot \Phi_b(z-x) + \int_z^{\infty}dx\cdot p_a(x) \cdot \Phi_b(z-x) \leq \int_{-\infty}^zdx \cdot p_a(x) \cdot \Phi_{O_b}(z-x) + \int_z^{\infty}dx \cdot p_a(x) \cdot \Phi_{O_b}(z-x) ∫−∞zdx⋅pa(x)⋅Φb(z−x)+∫z∞dx⋅pa(x)⋅Φb(z−x)≤∫−∞zdx⋅pa(x)⋅ΦOb(z−x)+∫z∞dx⋅pa(x)⋅ΦOb(z−x)

(25)

简化积分限制/被积函数（为了便于阅读），
∫−∞0dx⋅pa(z+x)⋅Φb(−x)+∫0∞dx⋅pa(z+x)⋅Φb(−x)\int_{-\infty}^0dx \cdot p_a(z+x)\cdot \Phi_b(-x) + \int_0^{\infty}dx\cdot p_a(z+x)\cdot \Phi_b(-x) ∫−∞0dx⋅pa(z+x)⋅Φb(−x)+∫0∞dx⋅pa(z+x)⋅Φb(−x)
≤\leq ≤
∫−∞0dx⋅pa(z+x)⋅ΦOb(−x)+∫0∞dx⋅pa(z+x)⋅ΦOb(−x)(26)\int_{-\infty}^0dx\cdot p_a(z+x)\cdot \Phi_{O_b}(-x) + \int_0^{\infty}dx\cdot p_a(z+x) \cdot \Phi_{O_b}(-x) \tag{26} ∫−∞0dx⋅pa(z+x)⋅ΦOb(−x)+∫0∞dx⋅pa(z+x)⋅ΦOb(−x)(26)
重新安排这些项，
∫0∞dx⋅pa(z+x)⋅Φb(−x)−∫0∞dx⋅pa(z+x)⋅ΦOb(−x)\int_0^{\infty}dx \cdot p_a(z+x) \cdot \Phi_b(-x) - \int_0^{\infty} dx \cdot p_a(z+x) \cdot \Phi_{O_b}(-x) ∫0∞dx⋅pa(z+x)⋅Φb(−x)−∫0∞dx⋅pa(z+x)⋅ΦOb(−x)
≤\leq ≤
∫−∞0dx⋅pa(z+x)⋅ΦOb(−x)−∫−∞0dx⋅pa(z+x)⋅Φb(−x)(27)\int_{-\infty}^0dx \cdot p_a(z+x) \cdot \Phi_{O_b}(-x) - \int_{-\infty}^0dx\cdot p_a(z+x) \cdot \Phi_b(-x) \tag{27} ∫−∞0dx⋅pa(z+x)⋅ΦOb(−x)−∫−∞0dx⋅pa(z+x)⋅Φb(−x)(27)
和，
∫0∞dx⋅pa(z+x)⋅[Φb(−x)−ΦOb(−x)]\int_0^{\infty}dx\cdot p_a(z+x) \cdot [\Phi_b(-x) - \Phi_{O_b}(-x)] ∫0∞dx⋅pa(z+x)⋅[Φb(−x)−ΦOb(−x)]
≤\leq ≤
∫0∞dx⋅pa(z−x)⋅[ΦOb(x)−Φb(x)](29)\int_0^{\infty}dx \cdot p_a(z-x) \cdot [\Phi_{O_b}(x) - \Phi_b(x)] \tag{29} ∫0∞dx⋅pa(z−x)⋅[ΦOb(x)−Φb(x)](29)
为了继续下去，我们给bbb和ObO_bOb的pdf加上另一个条件，即对称的条件。因此，cdf的差值也是对称的，即：
ΦOb(−x)−Φb(−x)=Φb(x)−ΦOb(x)(30)\Phi_{O_b}(-x)-\Phi_b(-x)=\Phi_b(x)-\Phi_{O_b}(x) \tag{30} ΦOb(−x)−Φb(−x)=Φb(x)−ΦOb(x)(30)
代入公式（29），
∫0∞dx⋅pa(z+x)⋅[Φb(x)−ΦOb(x)]\int_0^{\infty}dx\cdot p_a(z+x) \cdot [\Phi_b(x) - \Phi_{O_b}(x)] ∫0∞dx⋅pa(z+x)⋅[Φb(x)−ΦOb(x)]
≤\leq ≤
∫0∞dx⋅pa(z−x)⋅[Φb(x)−ΦOb(x)](31)\int_0^{\infty}dx\cdot p_a(z-x)\cdot [\Phi_b(x) - \Phi_{O_b}(x)] \tag{31} ∫0∞dx⋅pa(z−x)⋅[Φb(x)−ΦOb(x)](31)
注意，包络条件保证了这一点，
Φb(x)−ΦOb(x)≥0,∀x≥0(32)\Phi_b(x)-\Phi_{O_b}(x) \geq 0, \forall x \geq0 \tag{32} Φb(x)−ΦOb(x)≥0,∀x≥0(32)
由于后一项总是正的，公式（31）可以通过保证：
pa(z+x)≤pa(z−x)∀x≥0,z≤0(33)p_a(z+x) \leq p_a(z-x) \ \forall x \geq 0, z \leq 0 \tag{33} pa(z+x)≤pa(z−x) ∀x≥0,z≤0(33)
注意，对于x≥0x\geq0x≥0且z≤0z\leq0z≤0的所有xxx和zzz的组合，∣z−x∣≥∣z+x∣|z-x| \geq |z+x|∣z−x∣≥∣z+x∣。pa(x)p_a(x)pa(x)为严格单峰时满足此条件。

对于Φa+b(x)\Phi_{a+b}(x)Φa+b(x)的正二分之一（从公式24开始），也可以应用类似的证明，其结果与包络相同。

证明-第2部分

由上可知：
Φ(a+Ob)包络Φ(a+b)(34)\Phi(a+O_b) 包络\Phi(a+b) \tag{34} Φ(a+Ob)包络Φ(a+b)(34)
在以下条件下：
ΦOb(x)\Phi_{O_b}(x)ΦOb(x)包络Φb(x)\Phi_b(x)Φb(x)
pa(x)p_a(x)pa(x)是对称的
pa(x)p_a(x)pa(x)是单峰的

同样的证明也可以用来推导，
Φ(Oa+Ob)包络Φ(a+Ob)(35)\Phi(O_a+O_b)包络\Phi(a+O_b) \tag{35} Φ(Oa+Ob)包络Φ(a+Ob)(35)
在以下条件下：
ΦOa(x)\Phi_{O_a}(x)ΦOa(x)包络Φa(x)\Phi_a(x)Φa(x)
pOb(x)p_{O_b}(x)pOb(x)是对称的
pOb(x)p_{O_b}(x)pOb(x)是单峰的

结合公式（35）和公式（36），
Φ(Oa+Ob)包络Φ(a+Ob)包络Φ(a+b)(36)\Phi(O_a+O_b)包络\Phi(a+O_b)包络\Phi(a+b) \tag{36} Φ(Oa+Ob)包络Φ(a+Ob)包络Φ(a+b)(36)
所以，
Φ(Oa+Ob)包络Φ(a+b)(37)\Phi(O_a+O_b)包络\Phi(a+b) \tag{37} Φ(Oa+Ob)包络Φ(a+b)(37)
其中所有的分布都是单峰且对称的。

这一过程可通过归纳应用于任意数目的随机变量，只要满足包络条件，且真实分布是单峰的和对称的。由于保护水平方程中假定的包络分布为正态分布，因此定义为单峰对称分布。