洛谷 P1115 最大子段和

【题目链接】

洛谷 P1115 最大子段和

【题目考点】

1. 动态规划：线性动规

最大子段和

【解题思路】

解法1：线性动规

子段或子串指的是序列中连续的多个元素，子序列是指序列中可以不连续的多个元素。

1. 状态定义

集合：所有子段
限制：子段所在区间范围
属性：加和
条件：最大
统计量：加和
状态定义：dp[i]为以i为结尾的加和最大的子段的加和。

2. 状态转移方程

记a[i]为第i个元素的值
分割集合：考虑以第i元素为结尾的子段

子集1：第i元素自己作为一个子段，dp[i] = a[i]
子集2：如果第i元素和其左边一些元素构成子段，那么第i元素左边的子段为以第i-1元素为结尾的子段，以第i-1元素为结尾的子段中加和最大的子段的加和为dp[i-1]，在这个子段后面添加第i元素，这个以i为结尾的子段加和为dp[i]=dp[i-1]+a[i]

以上二者取最大值。

3. 结果输出

题目要求的是最大子段和，就是以每个位置为结尾的最大子段和中的最大值，即为求dp数组的最大值。

解法2：前缀和

求出原序列的前缀和，保存在s数组中。s[i]表示前i个数的和。
最大子段和即为：满足j>i的s[j]-s[i]的最大值。
mi为数组s在下标1~i中的最小值。那么s[i]-mi即为以i为结尾的子段的最大子段和。
最大子段和为以每个位置为结尾的最大子段和中的最大值。
i从1循环到n，不断更新mi，保持mi为s[1]~s[i]中的最小值，求s[i]-mi的最大值。

解法3：双指针

顺序遍历数组，当前已经选择了以第i-1元素为结尾的子段，该子段和为s，看是否把第i个元素a[i]加入到子段中。

如果已有子段的和为负数，即s<0，那么s+a[i] < a[i]，也就是说第i元素自己作为一个子段的加和，要比将其接到前一个子段的末尾构成的子段的加和要大。所以此时子段和应该从s变为a[i]
如果已有的子段和大于等于0，即s>=0，那么s+a[i] >= a[i]，应该将第i元素接到前一个子段的末尾，构成以第i元素为结尾的子段，子段和从s变为s+a[i]。

在遍历过程中，求所有出现的子段和的最大值。

该算法实际是一种双指针（尺取法）算法，子段的第一个元素的下标为l，最后一个元素的下标为r，当前子段和为负数，则l改变，否则r改变。这里思考时借助了双指针的思想，但代码中并不需要写出双指针。

【题解代码】

解法1：线性动规

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 200005
#define INF 0x3f3f3f3f
int a[N], dp[N];//dp[i]:以i为结尾的加和最大的子段的加和
int main()
{int n, mx = -INF;cin >> n;for(int i = 1; i <= n; ++i)cin >> a[i];for(int i = 1; i <= n; ++i)dp[i] = max(a[i], a[i] + dp[i-1]);for(int i = 1; i <= n; ++i)mx = max(mx, dp[i]);cout << mx;return 0;
}

解法2：前缀和

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 200005
#define INF 0x3f3f3f3f
int a[N], s[N];
int main()
{int n, mi = 0, mxSum = -INF;cin >> n;for(int i = 1; i <= n; ++i){cin >> a[i];s[i] = s[i-1] + a[i];}for(int i = 1; i <= n; ++i){mxSum = max(mxSum, s[i] - mi);mi = min(mi, s[i]);}cout << mxSum;return 0;
}

解法3：双指针

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 200005
#define INF 0x3f3f3f3f
int a[N], s;
int main()
{int n, mi = 0, mxSum = -INF;cin >> n;for(int i = 1; i <= n; ++i)cin >> a[i];for(int i = 1; i <= n; ++i){if(s < 0)s = a[i];elses += a[i];mxSum = max(mxSum, s);}cout << mxSum;return 0;
}