算法及时间/空间复杂度的分析

算法（Algorithm）

对特定问题求解步骤的一种描述，是为解决一个或一类问题给出的一个确定的、有限长的操作序列

算法的基本特征

①输入：有零个或多个输入
②输出：有一个或多个输出
③有穷性：在执行有穷步之后结束，且每一步都在有穷时间内完成
④确定性：算法中的每一条指令必须有确切的含义，对于相同的输入只能得到相同的输出
⑥可行性：算法描述的操作可以通过已经实现的基本操作执行有限次完成

有效算法五大特征

①正确性：能满足具体问题的需求，对于任何合法的输入，算法都会得出正确的结果
②健壮性：对非法输入的抵抗能力，即对于错误的输入，算法应能识别并做出相应处理，而不是产生错误结果或陷入瘫痪
③可读性：容易理解和实现
④时间效率高：运行时间短
⑤空间效率高：占用的存储空间尽量少

算法的描述方法（以欧几里得算法为例）

①自然语言

②程序流程图

③伪代码

④程序设计语言

时间复杂度

渐进复杂度分析

①算法的运行时间是问题规模n的函数，记作T(n)
②用基本语句的执行次数表示T(n)
③忽略低阶项和常系数，只考虑最高阶
④用大O、大Ω和大Θ表示其渐近意义下的阶

分析算法时间复杂度的一般步骤

渐进上界（O）

如果存在两个正的常数c和n₀：
对于任意n≥n₀，都有f(n)≤c×g(n)，则称f(n)=O(g(n))，即g(n)为f(n)的上界

一个算法的运行时间用大O符号表示时，总是采用最有价值的g(n)表示，称之为“紧凑上界”或“紧确上界”
一般地，如果f(n)=a_mn^m+a_m-1n^m-1+…+a₁n+a0，有f(n)=O(n^m)

渐进下界（Ω）

若存在两个正的常数c 和n₀：
对于任意n≥n₀，都有f(n)≥c×g(n)，则称f(n)=Ω(g(n))，即g(n)为f(n)的下界

一个算法的运行时间用大Ω符号表示时，总是采用最有价值的g(n)表示，称之为“紧凑下界”或“紧确下界”
一般地，如果f(n)=a_mn^m+a_m-1n^m-1+…+a₁n+a0，有f(n)=Ω(n^m)

渐进紧界（Θ）

若存在三个正的常数c1、c2和n₀：
对于任意n≥n₀都有c1×g(n)≥f(n)≥c2×g(n)，则称f(n)=(g(n))，即g(n)与f(n)同阶

f(n)=Θ(g(n))，当且仅当f(n)=O(g(n))，f(n)=Ω(g(n))
一般地，如果f(n)=a_mn^m+a_m-1n^m-1+…+a₁n+a0，有f(n)=Θ(n^m)

常见复杂度的大小

类型	顺序
多项式阶算法（有效算法）	T(n)=O(n^k)
常见的多项式阶大小排序	O(1)<O(log₂n)<O(n)<O(nlog₂n)<O(n²)<O(n³)
指数阶算法	T(n)= Ω(aⁿ)，a>1
常见的指数阶大小排序	O(2ⁿ)<O(n!)<O(nⁿ)

如图：

运行时间表：

渐进时间复杂度分析的一般步骤

①决定用哪个或哪些参数作为算法规模问题的度量
②找出算法中的基本语句（循环体）
③检查基本语句的执行次数是否依赖于其它影响（如排序问题中原序，可分为最好、最坏和平均）
④建立基本语句执行次数的求和表达式
⑤使用渐进符号O表示算法增长率的上限

Ps：通常只求最坏情况运行时间，因为
给出了任何输入的运行时间的上界；对某些算法，最坏情况经常出现；“平均情况”往往与最坏情况一样差

空间复杂度

一个算法的存储量包括形参所占空间和临时变量所占空间。在对算法进行存储空间分析时，只考察临时变量所占空间

渐进空间复杂度

同时间复杂度，S(n) = O(n)、Ω(n)、Θ(n)

原地工作

如果算法所需的辅助空间相对于问题的输入规模来说是一个常数，我们称此算法为原地（或就地）工作，即S(n) = O(1)

递归

对于递归函数的，需要空间（栈）来存储每一层的数据，因此空间复杂度并不为O(1)

递归方程及其求解方法

递归方程

①递归方程是一个等式或不等式，它通过更小的输入上的函数值来描述一个函数
②当一个算法包含对其自身的递归调用时，可以用递归方程来表示其运行时间

1）、迭代法

从初始递归方程开始，反复用递归方程右边的等式代入左边的函数，直到得到初值
例，求解：
T(n) = O(1) 当n=1时
T(n) = 2T(n/2)+ O(n) 当n>1时

2）、代入法

①猜测解的形式
②用数学归纳法进行验证

3）、递归树法

以树的形式来展开一个递归算法的模型：
递归树是一棵结点带权值的树，每个结点表示一个单一子问题的代价，子问题对应某次递归函数调用

①递归树的构造
初始的递归树只有一个结点，它的权标记为T(n)；然后按照递归树的迭代规则不断进行迭代，每迭代一次递归树就增加一层，直到树中不再含有权值为函数的结点
②递归树的求解
将树中每层中的代价求和，得到每层代价，再将所有层的代价求和，得到总的递归调用代价

例，求解：T(n)=2T(n/2)+O(n)
对于不平衡的递归树：T(n)=T(n/3)+T(2n/3)+n

设从根结点到最长路径的层数为：k
则n*(2/3)^k = 1，解得 k = log_3/2n
得出时间复杂度为：

4）、主方法

适用于求解：
T(n)=aT(n/b)+f(n) a≥1，b>1为常数，f(n)为渐近正函数

对原始方程进行解析：

分为三种情况：