AtCoder Beginner Contest 172 E - NEQ（二项式反演）

AtCoder Beginner Contest 172 E - NEQ

题意：

求满足下列条件的长度为 NNN且包含 [1,M][1, M][1,M]范围内整数的序列 A1,A2,⋯,ANA_1, A_2, \cdots, A_NA1,A2,⋯,AN及 B1,B2,⋯,BNB_1, B_2, \cdots, B_NB1,B2,⋯,BN组成的序列对数量。

∀1≤i<j≤N,Ai≠Aj∧Bi≠Bj\forall 1 \le i \lt j \le N, \; A_i \neq A_j \land B_i \neq B_j∀1≤i<j≤N,Ai=Aj∧Bi=Bj
∀1≤i≤N,Ai≠Bi\forall 1 \le i \le N, \; A_i \neq B_i∀1≤i≤N,Ai=Bi

分析：

条件① —— 保证序列A, B内所有数唯一 很好满足，接下来看条件② —— 序列A, B的对应位置的数不同。

显然要让对应位置的数不同情况会很复杂，但至多有KKK个位置的数不同的情况却很容易求解，因为这等价于有 至少N−KN-KN−K个位置的数相同。

设：
f(K)f(K)f(K)：序列内各数唯一且至多有 KKK个对应位置的数不同（至少 N−KN-KN−K个对应位置的数相同）的情况数；
g(K)g(K)g(K)：序列内各数唯一且恰有KKK个特定的对应位置的数不同的情况数；

易得：
f(N)=∑K=0N(NK)g(K)f(N) =\sum_{K=0}^N \binom{N}{K}g(K)f(N)=K=0∑N(KN)g(K)根据二项式反演可得：
g(N)=∑K=0N(−1)N−K(NK)f(K)g(N) = \sum_{K=0}^N (-1)^{N-K} \binom{N}{K} f(K)g(N)=K=0∑N(−1)N−K(KN)f(K)则答案即为g(N)。g(N)。g(N)。

根据至少 N−KN-KN−K个对应位置的数相同，可知 f(K)=PMN−K×(PM−N+KK)2f(K) = P_M^{N-K} \times (P_{M-N+K}^K)^2f(K)=PMN−K×(PM−N+KK)2

则最终答案如下：
g(N)=∑K=0N(−1)N−K(NK)PMN−K×(PM−N+KK)2g(N) = \sum_{K=0}^N (-1)^{N-K} \binom{N}{K} P_M^{N-K} \times (P_{M-N+K}^K)^2g(N)=K=0∑N(−1)N−K(KN)PMN−K×(PM−N+KK)2

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int maxn = 5e5 + 10;
int N, M;
LL fact[maxn], fact_inv[maxn];
LL qpow(LL a, LL b)
{LL res = 1;a %= MOD;while(b){if(b & 1)res = res * a % MOD;a = a * a % MOD;b >>= 1;}return res;
}
void preprocess()
{fact[0] = 1;for(int i = 1; i <= M; i++)fact[i] = fact[i-1] * i % MOD;fact_inv[M] = qpow(fact[M], MOD - 2);for(int i = M; i >= 1; i--)fact_inv[i-1] = fact_inv[i] * i % MOD;
}
LL comb(int a, int b)
{if(a < 0 || b < 0 || a < b)return 0;elsereturn fact[a] * fact_inv[b] % MOD * fact_inv[a-b] % MOD;
}
LL perm(int a, int b)
{if(a < 0 || b < 0 || a < b)return 0;elsereturn fact[a] * fact_inv[a-b] % MOD;
}
int main()
{scanf("%d %d", &N, &M);preprocess();LL ans = 0;for(int K = 0; K <= N; K++)ans = (ans +  qpow(-1, N - K) * comb(N, K) % MOD * perm(M, N - K) % MOD * qpow(perm(M - N + K, K), 2) % MOD) % MOD;printf("%lld\n", (ans % MOD + MOD) % MOD);return 0;
}

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