基于DPCA的线性监督分类的故障诊断方法-T2和SPE统计量的计算

基于DPCA的线性监督分类的故障诊断方法

数据预处理
- 标签问题
- 归一化问题
剩余步骤同[PCA方法](https://blog.csdn.net/And_ZJ/article/details/90576240)。

数据预处理

训练集样本（只有正样本）为Xn∗m{{\rm{X}}_{{\rm{n*m}}}}Xn∗m(需要列均值为零，采用z-score归一化即可，每行一个样本，样本数目n，特征维度m)。

假设时延为lll，则生产一个新的数据矩阵（利用过去时间内观察到的样本）：
X(l)=[xkTxk−1T...xk−lTxk+1TxkT...xk+1−lT⋮⋮⋮⋮xk+pTxk+p−1T...xk+p−lT]X(l) = \left[ \begin{array}{l} x_k^T{\rm{\,\,\,\,\,\,\,}}x_{k - 1}^T{\rm{\,\,\,\,\,\,}}...{\rm{\,\,\,\,}}x_{k - l}^T\\ x_{k + 1}^T{\rm{\,\,\,}}x_k^T{\rm{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}}...{\rm{\,\,\,\,\,}}x_{k + 1 - l}^T\\ {\rm{\,\,\,\,\,}} \vdots {\rm{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}} \vdots {\rm{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}} \vdots {\rm{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}} \vdots \\ x_{k + p}^T{\rm{\,\,\,}}x_{k + p - 1}^T{\rm{\,\,}}...{\rm{\,\,\,}}x_{k + p - l}^T \end{array} \right] X(l)=⎣⎢⎢⎢⎡xkTxk−1T...xk−lTxk+1TxkT...xk+1−lT⋮⋮⋮⋮xk+pTxk+p−1T...xk+p−lT⎦⎥⎥⎥⎤
其中xkx_{k}xk表示当前第k时刻观察到的样本，xk−1x_{k-1}xk−1表示第k-1时刻观察到的样本，由xkx_{k}xk、xk−1x_{k-1}xk−1、…、xk−lx_{k-l}xk−l共l+1l+1l+1个样本共同组成了第k时刻的新样本（也就是上面矩阵中的第一行那个样本）。使用此X(l)(n−l)∗(m∗(l+1))X(l)_{(n-l)*(m*{(l+1)})}X(l)(n−l)∗(m∗(l+1))作为新的训练矩阵（相比原来的矩阵X，样本数目减少了lll个，但特征数变成了m∗(l+1){m*{(l+1)}}m∗(l+1)维）。（测试集也按照测试样本的观察时间先后构成同样宽度的矩阵）。按经验，lll通常取2。
举例：
设有先后采集的样本，x1,x2,x3,x4,x5x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}x1,x2,x3,x4,x5，共5个。每个样本均是长度为2的列向量。具体如下：
x1=[1,2]Tx2=[3,4]Tx3=[5,6]Tx4=[7,8]Tx5=[9,10]Tx_{1}=[1,2]^T\\x_{2}=[3,4]^T\\x_{3}=[5,6]^T\\x_{4}=[7,8]^T\\x_{5}=[9,10]^Tx1=[1,2]Tx2=[3,4]Tx3=[5,6]Tx4=[7,8]Tx5=[9,10]T
若时延为l=2，则新的数据矩阵为：
X(l)=[x3Tx2Tx1Tx4Tx3Tx2Tx5Tx4Tx3T]=[5,6,3,4,1,27,8,5,6,3,49,10,7,8,5,6]X(l) = \left[ \begin{array}{l} x_{3}^T{\rm{\,\,\,\,\,\,\,}}x_{2}^T{\rm{\,\,\,\,\,\,\,}}x_{1}^T\\ x_{4}^T{\rm{\,\,\,\,\,\,\,}}x_{3}^T{\rm{\,\,\,\,\,\,\,}}x_{2}^T\\ x_{5}^T{\rm{\,\,\,\,\,\,\,}}x_{4}^T{\rm{\,\,\,\,\,\,\,}}x_{3}^T\\ \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{l} 5,{\rm{\,\,\,}}6,{\rm{\,\,\,}}3,{\rm{\,\,\,}}4,{\rm{\,\,\,}}1,{\rm{\,\,\,}}2\\ 7,{\rm{\,\,\,}}8,{\rm{\,\,\,}}5,{\rm{\,\,\,}}6,{\rm{\,\,\,}}3,{\rm{\,\,\,}}4\\ 9,10,{\rm{\,\,\,}}7,{\rm{\,\,\,}}8,{\rm{\,\,\,}}5,{\rm{\,\,\,}}6\\ \end{array} \right] X(l)=⎣⎡x3Tx2Tx1Tx4Tx3Tx2Tx5Tx4Tx3T⎦⎤=⎣⎡5,6,3,4,1,27,8,5,6,3,49,10,7,8,5,6⎦⎤
将X(l){X(l)}X(l)的每一行看作一个新的（动态）样本，则动态样本相比原始样本少了2个。但动态样本的维度变成原来的3倍了。
当然也不排除本人对这里理解有误，因此，若有疑问，请查阅下述文献，也欢迎指错。

标签问题

至于动态样本的标签，本人考虑的是，动态样本的标签与其第一个原始样本的标签一致。
比如上面举例中的第一行的动态样本，其标签与x3x_3x3的标签保持一致；第二行的动态样本，其标签与x4x_4x4的标签保持一致。

归一化问题

到底是X归一化之后再组成动态样本矩阵，还是先由X组成动态样本矩阵，然后动态样本矩阵再归一化，又或者之前与之后都使用归一化操作？
没有注意到文献里是否有讨论这一步，大概是我读的比较浅。
本人采取的方法是，先用XXX组成动态样本矩阵，然后对动态样本矩阵X(l)X(l)X(l)进行归一化操作。

剩余步骤同PCA方法。

参考文献：
[1] Ku W, Storer R H, Georgakis C. Disturbance detection and isolation by dynamic principal component analysis[J]. Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems, 1995, 30(1): 179–196.

[2] Lee, Jong-Min, ChangKyoo Yoo和In-Beum Lee. 《Statistical Monitoring of Dynamic
2Processes Based on Dynamic Independent Component Analysis》. Chemical Engineering Science
59, 期 14 (2004年7月): 2995–3006. https://doi.org/10.1016/j.ces.2004.04.031.