连续性的概念

第一类定义：设函数y = f(x)在 $x_{0}$ 的某邻域内有定义，并且 $\lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)$ ,则称函数f(x)在 $x_{0}$ 连续.并称 $x_{0}$ 为f(x)的连续点。

第二类定义： $\Delta x$ :x方向上的增量； $\Delta y$ :y方向上的增量。

$\Delta x$ 的正负表明增量方向。

$\lim_{\Delta x \to 0}f(x_0+\Delta x) = f(x_0)$ 或者 $\lim_{\Delta x \to 0}\Delta y = 0$ 则称函数f(x)在 $x_{0}$ 连续.并称 $x_{0}$ 为f(x)的连续点。

若 $\lim_{x\to x_0^-}f(x) = f(x_0)$ ，则称函数f(x)在 $x_{0}$ 左连续；

若 $\lim_{x\to x_0^+}f(x) = f(x_0)$ ，则称函数f(x)在 $x_{0}$ 右连续；

定理2.5.1：函数f(x)在 $x_{0}$ 处连续的必要条件是： $\lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0) \Leftrightarrow \lim_{x\to x_0^+}f(x) = \lim_{x\to x_0^-}f(x) = f(x_0)$

函数的间断点：

根据连续的定义，函数f(x)在 $x_0$ 连续，需要同时满足3个条件：

（1）函数f(x)在 $x_0$ 处有定义；

（2）函数f(x)在 $x_0$ 有极限；

（3）函数y = f(x)在 $x_0$ 处的极限为f( $x_0$ ).

如果函数f(x)不满足上述三个条件，则称f(x)在 $x_0$ 处不连续； $x_0$ 称为f(x)的不连续点或者间断点。

类型：

几种常见类型。

可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数 $y=\frac{(x^2-1)}{x-1}$ 在点x=1处。

跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数 $y=\frac{|x|}{x}$ 在点x=0处。

无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。

振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。

可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点，也叫有限型间断点。其它间断点称为第二类间断点。

由上述对各种间断点的描述可知，函数f(x)在第一类间断点的左右极限都存在，而函数f(x)在第二类间断点的左右极限至少有一个不存在，这也是第一类间断点和第二类间断点的本质上的区别。

[数学学习笔记]函数的连续性相关推荐

20171220-python学习笔记--函数类型
20171220-python学习笔记--函数类型备注: #位置参数 #传入两个参数 def power(x, n):s = 1while n > 0:n = n - 1s = s * xre ...
JavaScript学习笔记——函数 Part4：向函数传递函数、从函数返回函数（函数是一等公民）
要点函数是值,这个值就是函数引用函数是一等公民:函数引用是一等值可将函数引用赋给变量.含在数据结构(如对象)中.传递给其他函数或从其他函数返回函数是一等公民不要再认为函数是特殊的,有别于Ja ...
数学学习笔记--线性代数
开始复习 AI 算法的基础–数学部分,主要是三方面的内容: 线性代数概率论微积分参考内容如下: <深度学习> https://github.com/scutan90/DeepLear ...
Powershell学习笔记——函数和函数库
前段时间公司封闭开发,就在封闭的前一天感冒发烧,为了封闭,一顿猛药下去,烧是退了,却在扁桃附近爆发出来--扁桃发炎加溃疡,搞了十多天才好啊,天天喝稀饭啊--所以请大家原谅这么久没有续上学习笔记.顺便: ...
Excel学习笔记-函数(IF、AND、OR、Countif、Countifs)
目录: 一.认识Excel公式 1.运算符 2.公式中的比较判断 3.运算符优先级 4.单元格引用二.认识函数 1.如何使用函数 2.学习以下函数 3.利用定位工具选择输入公式的位置三.使用IF函 ...
数学学习笔记--概率论
2. 概率论 2.1 概率分布与随机变量 2.1.1 机器学习为什么要使用概率事件的概率是衡量该事件发生的可能性的量度.虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的,但那些可在相同条件下大量重复 ...
Javascript 学习笔记 - 函数 - 关于IIFE - 关于函数声明和函数表达式 - 个人总结
一切起源于一段代码(近来学完java基础开始学习敲一下javascript): var getter = function(){var dayNames=["Sunday",&q ...
白话机器学习的数学学习笔记（-）
机器学习越来越成为未来科技进步的推动,其中的数学理论还是需要学习和补充的,今天购买了<白话机器学习的数学>一书,就把相关学习到的知识做下笔记,供感兴趣的伙伴一起回顾. 一.1950年左右人 ...
PYTHON学习笔记---函数
定义函数 def great_user():#函数定义print("hello!")#函数任务 great_user()#调用函数使用关键字 def 定义一个函数,向Python ...
C语言学习笔记——函数
1.函数的介绍为完成某一功能的程序指令(语句)的集合,称为函数在C语言中,函数分为: 自定义函数.系统函数 2.函数的定义 2.1函数的基本语法返回类型函数名(形参列表){执行语句...; / ...

[数学学习笔记]函数的连续性

连续性的概念

函数的间断点：

类型：

[数学学习笔记]函数的连续性相关推荐

最新文章

热门文章