n 以内与 n 互素的元素集合必然形成一个循环群

这个讨论有错！稍后更改！【8以内的与8互素的元素集合为{1,3,5,7}，的确是一个乘法群，但它不是循环群】

前言：仅个人小记。一直知道，对于素数 p，Zp∗={1,2,...,p−1}Z_p^*=\{1,2,...,p-1\}Zp∗={1,2,...,p−1}是一个循环群，并且一直在使用这个性质(比如欧拉定理，费马定理，生成元的使用)，但却不知道 Zp∗Z_p^*Zp∗为什么是一个循环群。Zp∗Z_p^*Zp∗ 是由素数 p 形成的特例，而本文的证明是直接针对具有普遍性质的数字 n 来实施证明的。

注意： {1,2,...,p−1}\{1,2,...,p-1\}{1,2,...,p−1} 中元素个数为 p-1 ，不是素数，所以不能用“素数阶群必然是循环群”来证明它会形成一个循环群。

前要知识和约定

整数的标准分解式，整数 D 的标准分解式为 D=q1α1q2α2...qkαk，其中q1,q2,...,qk皆为素数D=q_1^{\alpha_1}q_2^{\alpha_2}...q_k^{\alpha_k}，其中q_1,q_2,...,q_k皆为素数D=q1α1q2α2...qkαk，其中q1,q2,...,qk皆为素数比如，27000=23∗32∗53比如，27 000 =2^3*3^2*5^3比如，27000=23∗32∗53
最小公倍数与标准分解式论
ord(xa)=ord(x)(ord(x),a)ord(x^a)=\frac{ord(x)}{(ord(x),a)}ord(xa)=(ord(x),a)ord(x),证明参看 https://blog.csdn.net/qq_25847123/article/details/101050414
如果 ord(x1),ord(x2),...,ord(xk)ord(x_1),ord(x_2),...,ord(x_k)ord(x1),ord(x2),...,ord(xk)之间互素，则ord(x1x2...xk)=ord(x1)ord(x2)...ord(xk)ord(x_1x_2...x_k)=ord(x_1)ord(x_2)...ord(x_k)ord(x1x2...xk)=ord(x1)ord(x2)...ord(xk)
n 以内与 n 互素的元素个数为 φ(n)\varphi(n)φ(n)，这本身就是欧拉函数的定义。
群 G 中存在阶等于群阶的元素，则该元素为原根。群中存在原根等价于该群为循环群。
Zn={0,1,...,n−1}Z_n=\{0,1,...,n-1\}Zn={0,1,...,n−1}
若正整数a,b互素，则必然存在b以内的正整数k，使得ak%b=1
群论中的拉格朗日定理，元素的阶必然能整除群阶。
模 n 同余式有 k 个不同的解，则该同余式的最高次数必然大于 k.[???]

证明内容

记 n 以内与 n 互素的元素形成集合为

G={x1,x2,...,xφ(n)},∀i∈{1,2,...,φ(n)},xi⊥nG=\{x_1,x_2,...,x_{\varphi(n)}\},\forall i\in\{1,2,...,\varphi(n)\},x_i\perp nG={x1,x2,...,xφ(n)},∀i∈{1,2,...,φ(n)},xi⊥n证明 G 必然形成一个乘法模循环群。

证明开始

第一部分（证明 G 是一个群）

1.封闭性。 ∀a,b∈G,有a⊥n,b⊥n,所以ab⊥n,所以ab(modn)⊥n,又因为ab(modn)∈Zn\forall a,b \in G,有a\perp n,b\perp n,所以 ab\perp n,所以 ab(mod\ n)\perp n,又因为 ab(mod\ n) \in Z_n∀a,b∈G,有a⊥n,b⊥n,所以ab⊥n,所以ab(mod n)⊥n,又因为ab(mod n)∈Zn所以ab(modn)∈Gab(mod\ n) \in Gab(mod n)∈G，所以满足封闭性。
2. 结合律，显然成立。
3. 存在幺元为 1。
4. 因为 a⊥na\perp na⊥n，所以根据前要知识8，必然 a 的逆元存在。
综上4点，得出 G 必然是一个群，且显然群 G 的阶为 φ(n)\varphi(n)φ(n)。

第二部分 (找出一个原根，进而证明 G 是循环群)

证明元素阶的最小公倍数必定就是群阶

已知 G 是一个群，记群中元素 xix_ixi的阶 di=ord(xi),xidi≡1(modn)d_i=ord(x_i),{x_i}^{d_i}\equiv1(mod \ n)di=ord(xi),xidi≡1(mod n)，则根据前要知识9，必然有 di∣φ(n)d_i|\varphi(n)di∣φ(n)。所有元素的阶的最小公倍数记为

D=[d1,d2,...,dφ(n)]D=[d_1,d_2,...,d_{\varphi(n)}]D=[d1,d2,...,dφ(n)]则必然有 D∣φ(n)D|\varphi(n)D∣φ(n)，则必然 D≤φ(n)D\leq\varphi(n)D≤φ(n)。
对于模 p 同余式 xD−1≡0(modn)x^D-1\equiv0(mod \ n)xD−1≡0(mod n)因为 D 是 did_idi的最小公倍数，所以必然 ∀i∈{1,2,...,φ(n)},xiD−1≡0(modn)成立\forall i \in \{1,2,...,\varphi(n)\},{x_i}^D-1\equiv0(mod \ n)成立∀i∈{1,2,...,φ(n)},xiD−1≡0(mod n)成立所以同余式 xD−1≡0(modn)x^D-1\equiv 0(mod \ n)xD−1≡0(mod n)至少有 φ(n)\varphi(n)φ(n)个解，进而根据前要知识10，知道必然 D≥φ(n)D\geq\varphi(n)D≥φ(n)，又因上述 D≤φ(n)D\leq\varphi(n)D≤φ(n)，所以必然D=φ(n)D=\varphi(n)D=φ(n)

找出原根

根据前要知识1，整数 D 的标准分解式为

D=q1α1q2α2...qkαk，其中q1,q2,...,qk皆为素数D=q_1^{\alpha_1}q_2^{\alpha_2}...q_k^{\alpha_k}，其中q_1,q_2,...,q_k皆为素数D=q1α1q2α2...qkαk，其中q1,q2,...,qk皆为素数再根据前要知识2，知道，

∀j∈{1,2,...,k},∃di,使得qjαj∣di成立\forall j \in \{1,2,...,k\},\exist d_i,使得{q_j}^{\alpha_j}|d_i成立∀j∈{1,2,...,k},∃di,使得qjαj∣di成立记 aj=diqjαj,aj是一个整数a_j=\frac{d_i}{{q_j}^{\alpha_j}},a_j是一个整数aj=qjαjdi,aj是一个整数，则根据前要知识3，得知

ord(xiaj)=ord(xi)(ord(xi),aj)=qjαjord({x_i}^{a_j})=\frac{ord(x_i)}{(ord(x_i),a_j)}={q_j}^{\alpha_j}ord(xiaj)=(ord(xi),aj)ord(xi)=qjαj综上，对于任何一个 j ，都存在一个 xix_ixi使得

ord(xiaj)=qjαjord({x_i}^{a_j})={q_j}^{\alpha_j}ord(xiaj)=qjαj因为 j∈{1,2,...,k}j\in\{1,2,...,k\}j∈{1,2,...,k}，所以也有对应的 k 个 xix_ixi，把这 k 个 xix_ixi重新记为

y1,y2,...,yky_1,y_2,...,y_ky1,y2,...,yk相应对应为ord(yiai)=qiαiord({y_i}^{a_i})={q_i}^{\alpha_i}ord(yiai)=qiαi因为

q1,q2,...,qk为素数q_1,q_2,...,q_k为素数q1,q2,...,qk为素数所以必然

i≠j时，qiαi⊥qjαj，进而ord(yiai)⊥ord(yjaj)i\neq j时，{q_i}^{\alpha_i}\perp{q_j}^{\alpha_j}，进而ord({y_i}^{a_i})\perp ord({y_j}^{a_j})i=j时，qiαi⊥qjαj，进而ord(yiai)⊥ord(yjaj)
引入

Y=∏i=1kyiaiY=\prod_{i=1}^{k}{y_i}^{a_i}Y=i=1∏kyiai因为 G 是一个群，根据封闭性，必然

Y∈GY\in GY∈G再根据前要知识4，则必然有

ord(Y)=∏i=1kord(yiai)=∏i=1kqiαi=D=φ(n)ord(Y)=\prod_{i=1}^{k}ord({y_i}^{a_i})=\prod_{i=1}^{k}q_i^{\alpha_i}=D=\varphi(n)ord(Y)=i=1∏kord(yiai)=i=1∏kqiαi=D=φ(n)即出现群G中的元素 Y 的阶等于群 G 的阶，所以 Y 是群 G 的一个原根，所以群 G 是一个循环群。证毕！