毕达哥拉斯树（Pythagoras-tree）

分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统。虽然分形是一个数学构造，它们同样可以在自然界中被找到，这使得它们被划入艺术作品的范畴。

计算机协助了人们推开分形几何的大门。法国数学家曼德尔勃罗特这位计算机和数学兼通的人物，开创了新的数学分支——分形几何学。分形在医学、土力学、地震学和技术分析中都有应用。

毕达哥拉斯树（Pythagoras tree）是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”。

这个程序，展示了毕达哥拉斯树的生成。执行效果如下：

我的求解思路是：

确定直线 p1-p2，并在 p1-p2 的左侧求出 p11-p22，使 p1-p2-p22-p11 构成正方形。
求出点 p，使 p-p11-p22 构成含 60 度角的直角三角形。
分别将直线 p-p11 和 p-p22 看作 p1-p2，递归。递归的条件是正方形的边长大于 3。

完成的 C 语言源代码如下：

///
// 程序名称：毕达哥拉斯树（Pythagoras tree）
// 编译环境：Mictosoft Visual Studio 2010, EasyX_20200315(beta)
// 作　　者：LOVE MY D.O. <1509840721@qq.com>
// 最后修改：2020-4-10
//
#include <graphics.h>
#include <conio.h>
#include <math.h>const double PI = 3.1415926536;// 定义一个结构体 Point，存储点的坐标
struct Point
{double x;double y;
};// 直线的旋转（p1 是定点）
Point Rotate(Point p1, Point p2, double angle)
{Point r;r.x = p1.x + (p2.x - p1.x) * cos(angle) + (p2.y - p1.y) * sin(angle);r.y = p1.y + (p2.y - p1.y) * cos(angle) - (p2.x - p1.x) * sin(angle);return r;
}// 直线的缩放（p1 是定点）
Point Zoom(Point p1, Point p2, double ratio)
{Point r;r.x = p1.x + (p2.x - p1.x) * ratio;r.y = p1.y + (p2.y - p1.y) * ratio;return r;
}// 画出正方形
void Draw(Point p1, Point p2)
{Point p11 = Rotate(p1, p2, 90 * PI / 180);Point p22 = Rotate(p2, p1, 270 * PI / 180);POINT pts[] = { { int(p1.x + 0.5),  int(p1.y + 0.5) },                   // +0.5 是为了四舍五入{ int(p2.x + 0.5),  int(p2.y + 0.5) },{ int(p22.x + 0.5), int(p22.y + 0.5) }, { int(p11.x + 0.5), int(p11.y + 0.5) } };static int color_H = 270;setfillcolor(HSVtoRGB(float(color_H), 1, 1));                            // 设置正方形的填充颜色setlinecolor(HSVtoRGB(float((color_H + 80) % 360), 0.5, 0.5));            // 设置正方形的边框颜色color_H = (color_H + 1) % 360;fillpolygon(pts, 4);                                                   // 填充正方形颜色if (((p22.x - p11.x) * (p22.x - p11.x) + (p22.y - p11.y) * (p22.y - p11.y)) > 3 * 3 ) // 正方形的边长 >3 时递归{double a = 60 * PI / 180;                  // 60 度形式
//      double a = 45 * PI / 180;                  // 45 度形式Point p = Rotate(p11, p22, a);p = Zoom(p11, p, cos(a));Draw(p, p22);Draw(p11, p);}
}// 主函数
int main()
{initgraph(640, 480);               // 初始化窗口setbkcolor(0xfecaeb);               // 设置背景颜色cleardevice();Point p1 = { 290, 400 };Point p2 = { 350, 400 };Draw(p1, p2);_getch();closegraph();                        // 关闭窗口return 0;
}

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