Matlab实现——严格对角占优三对角方程组求解(高斯赛尔德Gauss-Seidel迭代、超松弛)
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严格对角占优三对角方程组求解
对中等规模的n阶的(n<100)线性方程组,直接法的准确性和可靠性,所以常采用直接法
对于较高阶的方程组,特别是地于某些偏微分方程离散化后得到的大型稀疏方程组(系统矩
阵绝大多数为零元素),由于直接解法的计算代价较高,使得迭代法更具有竞争力。
于是设计以下的2种算法:
——(1)
其系数矩阵是对角的,且元素满足严格对角占优:
1)追赶法:
利用方程组(1)的特点,应用Gauss消元法求解时,每步只需消一个元素。其消元过程为:
得到同解方程组(仍然严格对角占优)为:
回代过程(对角占优,不必选主元)为:
用追赶法解方程组(2)仅需(5n-4)次乘除过程,(3n-3)次加减过程,算法时间复杂度O(n)。
程序:
function X=trisys(A,D,C,B)%Input- A is the subdiagonal of the coefficient matrix% - D is the main diagonal of the coefficient matrix% - C is the superdiagonal of the coefficient matrix % - B is the constant vector of the linear system%Output - X is the solution vectorN=length(B);X=zeros(N,1);for k=2:Nmult=A(k-1)/D(k-1);D(k)=D(k)-mult*C(k-1);B(k)=B(k)-mult*B(k-1);endX(N)=B(N)/D(N);for k= N-1:-1:1X(k)=(B(k)-C(k)*X(k+1))/D(k);end
这个方法的精度很高,和系统的内置函数linsolve(H,B)的求解结果一致
2)迭代法(采用改进的Gauss-Seidel迭代)(这个方法是看了超松弛迭代后,得出的类似方法):
原理介绍:
它的Gauss-Seidel迭代方法我们已经很熟悉了:
【1】 给一个初始列向量:
【2】利用迭代公式:
经过一定的迭代次数以后,就能得到近似解:
现在对上述的Gauss-Seidel迭代进行加速
得到迭代方法:
(注意:当ω=1时,就是我们所熟悉的Gauss-Seidel迭代)
其中:
ω是迭代加速的相关系数——松弛因子
上述方法可解释为第k+1次迭代近似解的各分量依次为用Gauss-Seidel方法求得的第k+1次迭代近似值和第次近似值的加权平均值。适当选取收敛因子ω(事实上叫做松弛因子),可望该方法比Gauss-Seidel迭代法收敛得更快。
根据以上的原理分析,作出程序如下:
function X=acc(A,D,C,B,P,delta, max1,w)%Input- A is the subdiagonal of the coefficient matrix% - D is the main diagonal of the coefficient matrix% - C is the superdiagonal of the coefficient matrix % - B is the constant vector of the linear system% - P is an N x 1 matrix; the initial guess% - w is the convergence multiplicate% - delta is the tolerance for P% - max1 is the maximum number of iterations% Output - X is an N x 1 matrix: the gauss-seidel approximation% to the solution of AX = BN = length(B);L=P; %L is a mediutfor k=1:max1 %max1th iterationX=L; %initial the X=[x1;x2;…;xN]=L=[d01;d02;…;d0N]% the kth iteration of valuing the X for j=1:Nif j==1X(1)=(1-w)*X(1)+w*(B(1)-C(1)*X(2))/D(1);elseif j==NX(N)=(1-w)*X(N)+w*(B(N)-A(N-1)*X(N-1))/D(N);else%X contains the kth approximationsX(j)=(1-w)*X(j)+w*(B(j)-A(j-1)*X(j-1)-C(j)*X(j+1))/D(j);endenderr=abs(norm(X-L)); %get the error L=X;relerr=err/(norm(X)+eps);if (err<delta)|(relerr<delta) %fit the over condition of iterationbreakendend
分析误差:
这时候我们看到w=0.2时误差是e=0.01550147497154
经过类似的试验可以知道:
在w=0.98-w=1之间的时候存在最优松弛因子
我们看到迭代次数的增加,带来误差的显著减小,且迭代次数max1=20的时候精度达到1.0e-11
可见,该方法的求解精度还是令人满意的。
在求解该问题的过程中,对于求解方程组的方法选择是一个很重要的因素,注意到这个系数矩阵是50阶严格对角占优三对角稀疏矩阵,查询了相关知识后,我个人认为,50阶的严格对角占优三对角稀疏矩阵,完全可以用高斯消去法,这是因为高斯消去后的上三角(或者下三角)仍然是严格对角占优,而对于这个稀疏矩阵,迭代法是一个非常不错的选择,而我采取的迭代法受限制的就是这个松弛因子w,注意到0<w≤1的时候,该方法是任何初始向量P都收敛,于是采取了w=0:0.2:1的选择方式,最后发现w=1附近的时候误差相对较小(有点郁闷,针对这个三对角矩阵时没能达到加速的目的)。总之,迭代法的舍入误差随着迭代次数的增加,能达到相当高的精度;而且收敛速度令人满意。
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