2021电子科技大学 组合数学试卷 (卢光辉、戴波 )附带（ 2020 2018 2017 2014 各年题）

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希望学弟学妹都能考个好成绩
特别声明：该回忆版试卷不授权智博书店印刷出售

  1. 正偶数k1,k2,...k_1, k_2, ...k1​,k2​,...大于0， 且满足ki≠kj;i≠jk_i \neq k_j;i \neq jki​​=kj​;i​=j。写出求将正整数rrr分解为k1,k2,...,knk_1, k_2, ..., k_nk1​,k2​,...,kn​的和的方法数的算法，要求kik_iki​最多可被选中三次。（整数分解问题，分解成偶数的和，每个数最多被选中三次。）

  2. 求方程

{x1+x2+4x3+x4=160,2≤x3≤10,x4≤3\left\{ \begin{array}{lr} x_1 + x_2 + 4x_3 +x_4= 160, \\ 2 \le x_3 \le 10, x_4 \le 3 \end{array} \right. {x1​+x2​+4x3​+x4​=160,2≤x3​≤10,x4​≤3​
​ 正整数解的个数。（比较难算，所以题都背下来了）

  1. 证明11个人中必定有4个人彼此相认或3个人彼此不相识。

  2. 求解递归关系
    {an−2an−1−3an−2=2×3n,a0=1,a1=2\left\{ \begin{array}{lr} a_n - 2a_{n-1} - 3a_{n-2}= 2 \times3^n, \\ a_0=1, a_1=2 \end{array} \right. {an​−2an−1​−3an−2​=2×3n,a0​=1,a1​=2​
    (题目是通过答案反推的，参考答案为：an=118(−1)n−38×3n+32×3nna_n = \frac{11}{8}(-1)^n-\frac{3}{8}\times3^n+\frac{3}{2}\times3^nnan​=811​(−1)n−83​×3n+23​×3nn)

  3. 禁区棋盘的棋盘多项式计算（类似原题：2020年第五题）

  4. 奔赴抗疫，全国 4 个片区共有 68个 医疗队，其中西南片区有 10 个，中部片区有 18 个，北方片区有 18个，东部片区有22 个。假定同一片区的各 个医疗队不加以区别，现在要从中选取 27个医疗队入围。考虑到不同片区 的特殊情况，要求西南片区至少入围 4 个医疗队，北方片区至少入围 7 个医疗队，其他片区至少各入围 2 个医疗队，问理论上有多少种不同的选取方案？（数字是根据答案反推的：本质就是四种元素的12-重集，有两种元素个数6、 11需要讨论数量是否够取）另外感谢教研室同学帮忙回忆

  5. 求不包含 3、5、7，出现偶数次 1、2，至少出现两次 4、8 的 r 位十进制数的个 数。（具体数字记不清了，但是限制条件和被限制数的个数是对的，比较难算）

  6. (6分)开放题：解释是否存在一种无损压缩算法（解压后能得到和原来完全一样的数据），可以把任意数据进行压缩变得更小？（老师这刀除了香农老爷子砍不死外，基本上所有考生众生平等了，不太好作答）

附录：2020 电子科技大学研究生试卷组合数学（卢光辉、戴波）

Copyright 额？好像是我们教研室一个学长上传的。不过被其他人下载后重复上传了，我是花了59积分下载的盗传版本（吐血）。总之附录部分不是我原创的，有必要说明一下。
PS：我直接贴截图了，不喜欢这个清晰度可以去下载pdf版（CSDN上传资源没法设置0积分下载，所以下载pdf版通常要积分，没必要啊。）





附录：2017-18 电子科技大学研究生试卷组合数学

  1. (12’)

    • 若7个人中有1对夫妇，试求从中取出6个人的夫妇不相邻的 6−6^-6− 线排列的种数。
    • 若7个人中有3对夫妇，试问从中取出6个人的夫妇均不相邻的圆排列有多少种。

  2. (14‘) 现有重集 B={k1⋅b1,k2⋅b2,k3⋅b3,⋯,kn⋅bn}B=\{k_1 \cdot b_1, k_2 \cdot b_2, k_3 \cdot b_3, \cdots ,k_n \cdot b_n \}B={k1​⋅b1​,k2​⋅b2​,k3​⋅b3​,⋯,kn​⋅bn​}，试根据母函数给出求该重集 BBB 的 r−r^-r−组合数的算法。

  3. 某工厂欲在31天内完成50个产品。每天至少完成1个产品。试证明无论工厂怎样安排，一定有连续的几天完成 11个产品。

  4. 求下列方程的正整数解的个数：
    {x1+x2+x3+x4=10,1≤x1≤4,2≤x3≤6,0≤x3≤2\left\{ \begin{array}{lr} x_1 + x_2 + x_3 +x_4= 10, \\ 1 \le x_1 \le 4, 2 \le x_3 \le 6, 0 \le x_3 \le 2 \end{array} \right. {x1​+x2​+x3​+x4​=10,1≤x1​≤4,2≤x3​≤6,0≤x3​≤2​

  5. 证明：广义Ramsey数 R(C4,C4)≥6R(C_4, C_4) \geq 6R(C4​,C4​)≥6，其中 C4C_4C4​为4个顶点的无向回路图。

  6. 求由数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的r位数中，1和3出现偶数次，4和6至少出现一次的r位数的个数。

  7. 试解出递归关系：
    {an=6an−1+7an−2+(−1)n,a0=7,a1=78\left\{ \begin{array}{lr} a_n = 6a_{n-1} + 7a_{n-2} + (-1)^n, \\ a_0=7, a_1=\frac{7}{8} \end{array} \right. {an​=6an−1​+7an−2​+(−1)n,a0​=7,a1​=87​​

  8. (12‘)亚洲、欧洲、非洲、北美洲、南美洲准备承办接下来五届奥运会。已知亚洲不能承办第1和3届的奥运会， 欧洲不能承办第2届的奥运会，非洲不能承办第4届奥运会，南美洲不能承办第1和4届奥运会，北美洲不能承 办第5届奥运会，其他不参与承办，试问共有多少种承办方案

附录：2014 电子科技大学研究生试卷组合数学（卢光辉、杨国武）

一、（17分）解下列递归关系

二、（18分）今后5届APEC会议由美国、印度、澳大利亚、加拿大、俄罗斯5国举办，一个国家只能举办一次。假如美国只能举办第一届、第二届或者第三届，印度不能举办第一届，澳大利亚只能举办第二届、第四届或者第五届，加拿大不能举办第二届和第三届，俄罗斯不能举办第五届。问未来的5届APEC会议有多少种不同的举办方案？

三、（15分）某省打算未来3个财政年度偿还一批地方债，计划每个月至少偿还10亿元，每个财政季度（3个月）至多偿还50亿元。证明：无论怎样安排偿还时间表，必然存在相继的若干月，在这些月内恰好偿还110亿元地方债。假定每月偿还的地方债都以整10亿元计。

四、（16分）求2和8都出现偶数次，1和7都出现奇数次，并且4至少出现1次的r位十进制数的个数。

五、（18分）全国4个片区共40所大学申报国家重点实验室，其中，西部片区有7所大学，华北片区有18所大学，华东片区有10所大学，华南片区有5所大学。假定同一片区的各所大学不加以区别，现在要从中选取14所大学入围。

（1）问理论上有多少种不同的选区方案？

（2）现为了考虑不同片区的特殊情况，如果西部片区至少有4家入围，华北片区至少有2家入围，问理论上有多少种不同的选取方案？

六、（6分）求两个“1”之间至少要有两个“0”的14位二进制数的个数。

七、（6分）求集和{1,2，…，64}的既不含相邻整数，也不同时包含1和64的28-组合的个数。

八、（12分）证明：广义Ramsey数R(C4,C4) ≥6，其中C4为4个顶点的无向回路图。

  • 截图版如下：

附录：可能用到的解题思路

  • 取不相邻的元素（只有图）
  • 求方程正整数解时，X系数不为1怎么办？（感谢群佬的解题思路）
  • 复习重点题型总结（请允许我在此给这篇知乎文章的作者叫一声爸爸，爸爸！）
  • https://zhuanlan.zhihu.com/p/344378211

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