「「「数学基础」」」第333章同余问题
目录：

A.同余方程
B.约数之和
C.线性求逆元
D.中国剩余定理

A.A.A. 例题111 同余方程

洛谷linklinklink

分析：

拓展欧几里得(exgcd)(exgcd)(exgcd) 板子
由于要求最小正整数解最后要对答案进行处理

CODE：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a,b,x,y;
void exgcd(ll a,ll b)
{if(b==0){x=1;y=0;return;}exgcd(b,a%b);ll k=x;x=y;y=k-a/b*y;
}
int main()
{scanf("%lld%lld",&a,&b);exgcd(a,b);printf("%lld",(x%b+b)%b);return 0;}

B.B.B. 例题222 约数之和

分析：

唯一分解定理：
A=p1k1×p2k2×...×pnknA=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times...\times p_n^{k_n}A=p1k1×p2k2×...×pnkn
那么AB=p1k1×B×p2k2×B×...×pnkn×BA^B=p_1^{k_1\times B}\times p_2^{k_2\times B}\times...\times p_n^{k_n\times B}AB=p1k1×B×p2k2×B×...×pnkn×B
ABA^BAB的约数和为 ∏i=1n(∑j=0B×kipij)∏_{i=1}^n(\sum_{j=0}^{B\times k_i}p_i^j)∏i=1n(∑j=0B×kipij)
然后等比数列求和 ∏i=1n(piB×ki+1−1pi−1)∏_{i=1}^n(\frac{p_i^{B\times k_i+1}-1}{p_i-1})∏i=1n(pi−1piB×ki+1−1)
分子可以用快速幂求出分母看是否与990199019901互质不互质就是pi−1p_i-1pi−1的乘法逆元
如果互质则pip_ipi modmodmod 9901=19901=19901=1 该项变为i∑j=0kj×B=ki×B+1i^{\sum_{j=0}^{k_j\times B}}=k_i\times B+1i∑j=0kj×B=ki×B+1 modmodmod 990199019901

CODE：

#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int Mod=9901;
ll prime[105],c[105],ans=1ll,A,B,tot;
void Div(int x)  //分解质因子
{for(int i=2;i*i<=x;i++){if(x%i==0) prime[++tot]=i;while(x%i==0){c[tot]++;x/=i;} }if(x>1) {prime[++tot]=x;c[tot]=1; }
}
ll ksm(ll a,ll k)
{ll res=1;while(k){if(k&1) (res*=a)%=Mod;k>>=1;(a*=a)%=Mod;}return res;
}
int main()
{scanf("%lld%lld",&A,&B);Div(A);for(int i=1;i<=tot;i++){if((prime[i]-1)%Mod==0){ans=ans*(B*c[i]+1)%Mod;continue;}int tmp=ksm(prime[i],B*c[i]+1);tmp=(tmp-1+Mod)%Mod;int inv=prime[i]-1;  inv=ksm(inv,Mod-2);  //逆元ans=ans%Mod*inv*tmp%Mod;}printf("%lld",ans);return 0;
}

C.C.C. 例题333 线性求逆元

洛谷linklinklink

分析：

逆元线性递推公式模板

CODE：

#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=3e6+5;
int n,p,inv[N];
int main()
{scanf("%d%d",&n,&p);inv[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=(ll)(p-p/i)*inv[p%i]%p;for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",inv[i]);    return 0;
}

D.D.D. 例题444 中国剩余定理

洛谷linklinklink

分析：

exgcd+CRTexgcd+CRTexgcd+CRT 板子
注意处理负数的

CODE：

#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,a[16],b[16],Mod=1,ans;
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{if(!b){x=1;y=0;return;}exgcd(b,a%b,x,y);int k=x;x=y;y=k-a/b*y;
}
int main()
{scanf("%lld",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]);Mod*=a[i];}for(int i=1;i<=n;i++)  //求方程组数{ll x=0,y=0;exgcd(Mod/a[i],a[i],x,y);(ans+=b[i]*Mod/a[i]%Mod*(x<0?x+a[i]:x))%=Mod;}printf("%lld",ans%Mod);return 0;
}

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