卡方分布分位数_数理统计第五讲（三大分布）
2.4常用分布与分布族（续）
接下来介绍统计中的三大分布，它们分别是
- 构造型定义（充要性）很重要！
- 概率密度函数
- 性质
- 上分位数
※
构造型定义
设
的分布为具有自由度
反之，如果随机变量
使得
这也就是构造型定义的充要性质，在介绍其他分布的构造型定义时将不再赘述.
概率密度函数
在自由度变化时，密度函数的如图所示
下面给出密度函数的推导：
设
而根据
记
进而得到密度函数为
因此
可加性
设
这是因为
数字特征与特征函数
设
同理还能得到特征函数为
※
设
的分布称为自由度为
概率密度函数
在自由度变化时，密度函数的如图所示
性质
定理T1 设
证明 利用构造型定义，想办法分子弄出正态，分母弄出卡方
且之前证过
这个结论可以与
这个定理对
Pearson等统计学家都认为
W. S. Gosset发现在小样本场合，把
定理T1，这个发现使得人们进一步深入地研究抽样分布，并产生了丰富的成果。
定理T2
设
即两个正态总体的方差是相同的，且假设
那么
证明 看到样本均值和总体均值就要想到标准正态，看到样本方差就要想到卡方分布！
同一总体的样本均值与样本方差都独立了，不同独立总体的当然更加独立啦，所以
其中
定理T3 当自由度充分大时，
证明 还是利用构造型定义！看出它的重要性了吗？
由于
其中
而
此外也可以利用
从密度函数图像中可以发现，
定理T4 设
分布的矩
利用构造型定义，结合正态分布及卡方分布的矩可以得到
要说明的是，只要当
特别地
可以发现，当
※
构造型定义
设
的分布称为具有自由度
概率密度函数
下面是密度函数的示意图
性质
倒数自由度交换
利用构造型定义即可，上下两个卡方的自由度刚好交换.
思考一下如果
根据构造型定义有
因此
定理F1
设
且假设
证明 还是一样，看到样本方差就要想到卡方哦
又由于来自两正态总体的样本独立，因此
下面一并介绍分布的上分位数：
之前介绍过下
使得密度函数在
下面对不同分布加以介绍
标准正态分布
记其上
记其上
记其上
记其上
三变性质：
思考下如何证明呢？
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