斐波那契数列（剑指offer）

原文链接：
斐波那契数列的递归算法与非递归算法

以下皆为转载。

一、斐波那契数列

由于斐波纳挈数列是以兔子的繁殖引入的，因此也叫“兔子数列”。它指的是这样一个数列：0,1,1,2,3,5,8,13……从这组数可以很明显看出这样一个规律：从第三个数开始，后边一个数一定是在其之前两个数的和。在数学上，斐波纳挈数列可以以这样的公式表示：
F(0) = 0
F(1) = 1，
F(n) = F(n-1) + F(n-2),(n>=2)

1。递归算法：

int Fibonacci(int n)
{if(n==0)return 0;if(n==1)return 1;return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);}

方法二：

//作者：结晶的冰
//链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/c6c7742f5ba7442aada113136ddea0c3
//来源：牛客网int Fibonacci(int n) {if(n==0)return 0;else if(n==1||n==2)return 1;else if(n==3)return 2;elsereturn 3*Fibonacci(n-3)+2*Fibonacci(n-4);}

这样的递归算法虽然只有简单的几行，但是效率却很低。为什么呢？我们可以分析其递归调用的时间复杂度：
时间复杂度 —– O(2^N)。

2。非递归算法：

所以，如果在时间复杂度和空间复杂度都有要求的话，我们可以用以下两种非递归算法来实现：

1）：时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(N)

创建一个数组，每次将前两个数相加后直接赋给后一个数。这样的话，有N个数就创建一个包含N个数的一维数组，所以空间复杂度为O(N)；由于只需从头向尾遍历一边，时间复杂度为O(N)。


long long* Fib2(long long num)
{assert(num >= 0);//非递归long long* array = new long long[num+1];array[0] = 0;array[1] = 1;for (int i=2; i<=num; i++){array[i] = array[i-1] + array[i-2];}return array;
}

2）时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(1)

借助两个变量 first 和 second ，每次将 first 和 second 相加后赋给 third ，再将 second 赋给 first ，third 赋给 second，如此循环。

#include<iostream>
#include<vector>using namespace std;int Fibonacci(int num)
{if(num==0)return 0;if(num==1)return 1;int first = 0;int second = 1;int third;for(int i=2; i<=num; i++){third = first + second;first = second;second = third;}return third;
}int main()
{cout<<Fibonacci(39)<<endl;system("pause");return 0;}

运行结果为：

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