机器博弈 (三) 虚拟遗憾最小化算法

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虚拟遗憾最小化算法(Counterfactual Regret Minimization)
例子-库恩扑克(Kunh's pocker)
- 计算1PB的遗憾值

虚拟遗憾最小化算法(Counterfactual Regret Minimization)

如果不能遍历计算机所有节点的遗憾值，那么可以采用虚拟遗憾最小化算法来进行模拟计算。
假设：
- 集合AAA是博弈中所有玩家所能采用的行为集(如在石头-剪刀-布游戏中出石头、出剪刀或出布三种行为)
- III为信息集，包含了博弈的规则以及玩家采取的历史行动，在信息集III下所能采取的行为集合记为A(I)A(I)A(I)。
玩家iii在第ttt轮次采取的行动ai∈A(Ii)a_{i} \in A(I_{i})ai∈A(Ii)反映了其在该轮次所采取的策略σit\sigma_{i}^{t}σit。包含玩家iii在内的所有玩家在ttt轮次采取的行动a∈A(I)a \in A(I)a∈A(I)构成了一组策略组合σt\sigma^{t}σt。
在信息集III下采取行动aaa所反映的策略记为σI→a\sigma_{I \rightarrow a}σI→a。
在第ttt轮次所有玩家采取的行动是一条序列，记为hhh。采取某个策略σ\sigmaσ计算行动序列hhh出现的概率记为πσ(h)\pi^{\sigma}(h)πσ(h)。
每个信息集III发生的概率πσ(I)=∑h∈Iπσ(h)\pi^{\sigma}(I)=\sum_{h \in I}\pi^{\sigma}(h)πσ(I)=∑h∈Iπσ(h)，表示所有能够到达该信息集的行动序列的概率累加。
给定博弈的终结局势z∈Zz \in Zz∈Z，玩家iii在游戏结束后的收益记做ui(z)u_{i}(z)ui(z)。
在策略组合σ\sigmaσ下，施加博弈行动序列hhh后达到最终局势zzz的概率为πσ(h,z)\pi^{\sigma}(h,z)πσ(h,z)。

有了这些定义之后，我们现在来计算虚拟遗憾：

当采取策略σ\sigmaσ时，其所对应的行动序列hhh的虚拟价值(Counterfactual Value)如下计算(注：行动序列hhh未能使博弈进入终结局势)：

vi(σ,h)=∑z∈Zπ−iσ(h)πσ(h,z)ui(z)v_{i}(\sigma,h)=\sum_{z \in Z} \pi_{-i}^{\sigma}(h)\pi^{\sigma}(h,z)u_{i}(z) vi(σ,h)=z∈Z∑π−iσ(h)πσ(h,z)ui(z)

我们首先去计算其他玩家在产生行动序列hhh中他们的概率值是多少，乘以在这个策略下，从行动序列hhh进入到终止局势zzz的概率，最终再乘以玩家iii在终止局势zzz的概率。之后对终止局势做一个遍历，把它的乘积做一个累加。

玩家iii采取行动aaa所得到的虚拟遗憾值：

r(h,a)=vi(σI→a,h)−vi(σ,h)r(h,a)=v_{i}(\sigma_{I \rightarrow a},h) - v_{i}(\sigma,h) r(h,a)=vi(σI→a,h)−vi(σ,h)

行动序列hhh所对应的信息集III遗憾值为：

r(I,a)=∑r(h,a)r(I,a)=\sum r(h,a) r(I,a)=∑r(h,a)

玩家iii在第TTT轮次采取行动aaa的遗憾值为：

RegrettT(I,a)=∑t=1Trit(I,a)Regret_{t}^{T}(I,a)=\sum_{t=1}^{T}r_{i}^{t}(I,a) RegrettT(I,a)=t=1∑Trit(I,a)

同样，对于遗憾值为负数的情况，我们不予考虑，记：

RegretiT,+(I,a)=max(RiT(I,a),0)Regret_{i}^{T,+}(I,a) = max(R_{i}^{T}(I,a),0) RegretiT,+(I,a)=max(RiT(I,a),0)

在T+1T+1T+1轮次，玩家iii选择行动aaa的概率计算如下：

σiT+1(I,a)={RegretiT,+(I,a)∑a∈A(I)RegretiT,+(I,a)if∑a∈A(I)RegretiT,+(I,a)>01∣A(I)∣otherwise\sigma_{i}^{T+1}(I,a) = \left\{\begin{matrix} \frac{Regret_{i}^{T,+}(I,a)}{\sum_{}a \in A(I)Regret_{i}^{T,+}(I,a)}& if \sum_{a \in A(I)}Regret_{i}^{T,+}(I,a)>0\\ \frac{1}{|A(I)|} & otherwise \end{matrix}\right. σiT+1(I,a)={∑a∈A(I)RegretiT,+(I,a)RegretiT,+(I,a)∣A(I)∣1if∑a∈A(I)RegretiT,+(I,a)>0otherwise

玩家iii根据遗憾值大小来选择下一时刻行为，如果遗憾值为负数，则随机挑选一种行为进行博弈。

例子-库恩扑克(Kunh’s pocker)

库恩扑克是最简单的限注扑克游戏，由两名玩家进行游戏博弈，牌值只有1，2和3三种情况。
每轮每位玩家各持一张手牌，根据各自判断来决定加定额赌注。
游戏没有公共牌，摊牌阶段比较未弃牌玩家的底牌大小，底牌牌值最大的玩家即为胜者。
游戏规则：

库恩扑克(Kunh’s pocker)：以先手玩家(定义为玩家AAA)为例的博弈树：

从初始节点开始，1、2、3分别表示玩家AAA手中的牌，当玩家拿了1之后，玩家BBB只能拿2或者3。玩家AAA选择过牌还是加注，玩家BBB也可以选择过牌还是加注。依次进行下去，就构建了博弈树。

在这个博弈树里面，总共的信息集与12个：{1,1P,1B,1BP,2,2P,2B,2BP,3,3P,3B,3BP}。
每个信息集由不同路径可以到达。如信息集1PB可通过如下路径到达：

1玩家A拿到大小为1的纸牌→1P玩家A采取过牌行动→1PB玩家B采取加注行动1_{玩家A拿到大小为1的纸牌}\rightarrow 1P_{玩家A采取过牌行动} \rightarrow 1PB_{玩家B采取加注行动} 1玩家A拿到大小为1的纸牌→1P玩家A采取过牌行动→1PB玩家B采取加注行动

可见信息集1PB1PB1PB所对应的行动序列为{P,B}

在该问题中，到达每个信息集的路劲均唯一，因此所有信息集仅对应一个行动序列。

有了上述定义之后，我们可以采取如下算法进行策略选择：

初始化遗憾值和累加策略表为0
采用随机选择的方法来决定策略
利用当前策略与对手进行博弈
计算每个玩家采取每次行为后的遗憾值
根据博弈结果计算每个行动的累加遗憾值大小来更新策略
重复博弈若干次
根据重复博弈最终的策略，完成最终的动作选择

计算1PB的遗憾值

假设初始情况下，两个玩家都以随机选择的策略进行决策，即在任一节点，都以50%的概率分别选择过牌和加注
若第一轮中，玩家AAA的博弈过程为1→P1P→B1PB→BZ21 \overset{P}{\rightarrow}1P \overset{B}{\rightarrow}1PB \overset{B}{\rightarrow} Z_{2}1→P1P→B1PB→BZ2，收益为uA(Z2)=−2u_{A}(Z_{2})=-2uA(Z2)=−2。
计算玩家AAA针对信息集{1PB}\{1PB\}{1PB}选择“过牌”行动的遗憾值：
- 在当前策略下，行动序列h={PB}h=\{PB\}h={PB}产生的概率：
  πBσ(h)=1×0.5=0.5\pi_{B}^{\sigma}(h) = 1 \times 0.5 = 0.5 πBσ(h)=1×0.5=0.5

由于在 {1PB}\{1PB\}{1PB}节点选择加注和过牌的概率均为50%，所以当前策略下，从行动序列hhh到达终结状态z1z_{1}z1和z2z_{2}z2的概率分别为：

πσ(h,z1)=0.5,πσ(h,z2)=0.5\pi^{\sigma}(h,z_{1})=0.5,\pi^{\sigma}(h,z_{2})=0.5 πσ(h,z1)=0.5,πσ(h,z2)=0.5

又已知uA(z1)=−1u_{A}(z_{1})=-1uA(z1)=−1，uA(z2)=−2u_{A}(z_{2})=-2uA(z2)=−2，可知当前策略的虚拟价值：

vA(σ,h)=πBσ(h)×πσ(h,z1)×uA(z1)+πBσ(h)×πσ(h,z2)×uA(z2)=0.5×0.5×(−1)+0.5×0.5×(−2)=−0.75v_{A}(\sigma,h)=\pi_{B}^{\sigma}(h) \times \pi^{\sigma}(h,z_{1}) \times u_{A}(z_{1})+\pi_{B}^{\sigma}(h) \times \pi^{\sigma}(h,z_{2}) \times u_{A}(z_{2}) \\ = 0.5 \times0.5 \times (-1) + 0.5 \times 0.5 \times (-2) = -0.75 vA(σ,h)=πBσ(h)×πσ(h,z1)×uA(z1)+πBσ(h)×πσ(h,z2)×uA(z2)=0.5×0.5×(−1)+0.5×0.5×(−2)=−0.75

若使用过牌策略，即σ{1PB}→P\sigma_{\{1PB\} \rightarrow P}σ{1PB}→P，此时玩家BBB促使行动序列h={P,B}h=\{P,B\}h={P,B}达成的概率仍然为πBσ(h)=0.5\pi_{B}^{\sigma}(h)=0.5πBσ(h)=0.5，由于最终抵达的终结状态只有z1z_{1}z1，所以πσ(h,z1)=1\pi^{\sigma}(h,z_{1})=1πσ(h,z1)=1。
则最终选择过牌的虚拟价值为：

vA(σ{1PB}→P,h)=πBσ(h)×πσ(h,z1)×uA(z1)=0.5×1×(−1)=−0.5v_{A}(\sigma_{\{ 1PB\}\rightarrow P}, h) = \pi_{B}^{\sigma}(h) \times \pi^{\sigma}(h,z_{1}) \times u_{A}(z_{1})=0.5 \times 1 \times (-1) = -0.5 vA(σ{1PB}→P,h)=πBσ(h)×πσ(h,z1)×uA(z1)=0.5×1×(−1)=−0.5

在信息集{1PB}\{1PB\}{1PB}上采取“过牌”的遗憾值

r(I,P)=r(h,P)=vA(σ{1PB}→P,h)−vA(σ,h)=(−0.5)−(−0.75)=0.25r(I,P)=r(h,P)=v_{A}(\sigma_{\{1PB\}\rightarrow P},h)-v_{A}(\sigma, h)=(-0.5)-(-0.75)=0.25 r(I,P)=r(h,P)=vA(σ{1PB}→P,h)−vA(σ,h)=(−0.5)−(−0.75)=0.25

库恩扑克的博弈共有12个信息集，对应上图中的正方形和三角形
通过反复迭代计算，可以得到到达各个信息集应采取行动的概率：

对于玩家AAA而言，库恩扑克的混合策略纳什均衡的理论解如下(α∈[0,1/3]\alpha \in [0,1/3]α∈[0,1/3])：

可见，算法得到的解与理论得到的解之间较为接近，验证了算法的有效性。