窗函数(Window Function)在信号处理当中的应用
窗函数(Window Function)在信号处理当中的应用
1. 从两个重要极限到时域低通滤波器
两个重要极限
数学里常常会把两个非常重要而且非常常见的极限放在一起,并称他们为两个重要极限。
第一个重要极限:函数sinx/x在x趋近于0处的极限。
第二个重要极限:(1 + 1/x)^x 在x趋近于无穷大时的极限。
频域理想低通滤波器
两个重要极限的重要性从表面上看在初等函数的求导上,尤其是三角函数的求导上起到了至关重要的作用。但其博大精深的数学思想,尤其是自然数e的作用,绝对是登峰造极,无以伦比。
言归正传,这两个重要极限中提到的sinx/x,又叫SINC FUNCTION。在数字信号处理领域里,可以说是闻名遐迩,无所不知。下图是一个理想低通滤波器,通带部分完全平坦,阻带衰减为无限大,而过渡带无限小。
Sinc函数作为空间域理想低通滤波器
现在我们对这个频域理想低通滤波器做傅里叶逆变换(注意:这里是逆变换,因为是从频域到时域。),就会得到一个空间域理想低通滤波器,既不是实部图也不是虚部图,而是幅值图,且经过了FFTSHIFT。
这就是著名的Sinc函数!
现在问题来了,Sinc函数是从正无穷到负无穷都存在的连续函数(如图中所示的向两边无限延伸的涟漪(ripple))。
尽管这个无限长的函数在数学上没有任何问题,但是想通过计算机来实现就无能为力了。那么办呢?现在我们进入下一个话题。
2. 截断和能谱的泄漏
由于Sinc函数是无限的,为了便于用电脑来表示我们就只能选择其中的一段存到电脑里。如下图中,我用红框选择了整个Sinc函数其中的一段,而其他的部分全部都被砍掉了,这样的突然砍断,带来了信号的不连续,即,信号的跳变。这种不连续直接导致了频谱的泄漏。频谱发生了畸变,原来非常集中的能量被分散到较宽的频带中去了。
下图是截断前后的比较:
信号的突然截断导致了信号的不连续,为了显示这种数字化信号的不连续,这里我选择了另外一种绘图方式来绘制。为了显示方便,原图中高于0.05的部分被削去,为了突出截断处的不连续。
这样的突然间断会对该信号的频谱带来难以预估的影响,也就是我们常说的能谱的泄漏!
【转载】https://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/80050523
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