Fibonacci数列

Fibonacci数列是一个很有趣的结构，每后一项都等于前两项之和。它的前几位如下：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 134...我们可以表达该函数如下所示：

fib(0) = 0

fib(1) = 1

fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2) for n >= 2

在python里如何表达这样一个函数呢？我们可以用递归来表达。所谓递归，就是一个函数不断引用它自身，直到抵达一个可计算出确定值的初始态。

def fib(n):

if n <= 1:

return n

else:

return fib(n-1) + fib(n-2)

分形结构

分形概念由法国数学家曼德布罗在1975年提出，用于形容局部与整体相似的形状。如下所示图案叫科赫雪花(Koch fractal)，是一个典型的分形。

如何用计算机制造出这个图像呢？仔细观察并思考这个图像的绘制过程，我们会发现用递归的方式也能解决。我们称第一张图(只有一条直线)为0阶(order)雪花，第二张为1阶，以此类推。我们会发现，例如第二阶的图，可以通过引用三次第一阶的图来绘制。因此这个结构可以使用如下函数实现：

def koch(t, order, size):

if order == 0:

t.forward(size)

else:

for angle in [60, -120, 60, 0]:

koch(t, order-1, size/3)

t.left(angle)

其中t是一个移动的小海龟(类似netlogo里的turtle)，order是层级，size是整个雪花的线性规模。如果我们不用递归，则有n阶就必须定义n个函数：

def koch_0(t, size):

t.forward(size)

def koch_1(t, size):

for angle in [60, -120, 60, 0]:

koch_0(t, size/3)

t.left(angle)

def koch_2(t, size):

for angle in [60, -120, 60, 0]:

koch_1(t, size/3)

t.left(angle)

def koch_3(t, size):

for angle in [60, -120, 60, 0]:

koch_2(t, size/3)

t.left(angle)

可见递归确实是一种非常简洁的思想。

动态演化的分形结构

我们可以使用递归函数制造出分形结构，并且不断修正其中的参数，来构造动态演化的结构.为了帮助进行动态演示，下面这段程序使用了pygame模块，安装地址见这里。

import pygame, math

pygame.init() # prepare the pygame module for use

# Create a new surface and window.

surface_size = 1024

main_surface = pygame.display.set_mode((surface_size,surface_size))

my_clock = pygame.time.Clock()

def draw_tree(order, theta, sz, posn, heading, color=(0,0,0), depth=0):

trunk_ratio = 0.29 # How big is the trunk relative to whole tree?

trunk = sz * trunk_ratio # length of trunk

delta_x = trunk * math.cos(heading)

delta_y = trunk * math.sin(heading)

(u, v) = posn

newpos = (u + delta_x, v + delta_y)

pygame.draw.line(main_surface, color, posn, newpos)

if order > 0: # Draw another layer of subtrees

# These next six lines are a simple hack to make the two major halves

# of the recursion different colors. Fiddle here to change colors

# at other depths, or when depth is even, or odd, etc.

if depth == 0:

color1 = (255, 0, 0)

color2 = (0, 0, 255)

else:

color1 = color

color2 = color

# make the recursive calls to draw the two subtrees

newsz = sz*(1 - trunk_ratio)

draw_tree(order-1, theta, newsz, newpos, heading-theta, color1, depth+1)

draw_tree(order-1, theta, newsz, newpos, heading+theta, color2, depth+1)

def gameloop():

theta = 0

while True:

# Handle evente from keyboard, mouse, etc.

ev = pygame.event.poll()

if ev.type == pygame.QUIT:

break;

# Updates - change the angle

theta += 0.01

# Draw everything

main_surface.fill((255, 255, 0))

draw_tree(9, theta, surface_size*0.9, (surface_size//2, surface_size-50), -math.pi/2)

pygame.display.flip()

my_clock.tick(120)

gameloop()

pygame.quit()