Metropolis 采样与蒙特卡洛算法

Metropolis 算法又叫 Metropolis 抽样，是模拟退火算法的基础，在早期的科学计算中蒙特卡洛方法（Monte Carlo）是对大量原子在给定温度下的平衡态的随机模拟，当蒙特卡洛算法计算量偏大。

1953 年，Metropolis 提出重要性采样，即以概率来接受新状态，而不是使用完全确定的规则，称为 Metropolis 准则，可以显著减小计算量。

假设前一状态为 x(n)x(n)，系统受到一定扰动，状态变为 x(n+1)x(n+1)，相应地，系统能量由 E(n)E(n) 变为 E(n+1)E(n+1)。定义系统由 x(n)x(n) 变为 x(n+1)x(n+1) 的接收概率为 pp（probability of acceptance）：

p=⎧⎩⎨1,exp(−E(n+1)−E(n)T),E(n+1)<E(n)E(n+1)≥E(n)

p=\left\{ \begin{array}{l} 1,&E(n+1)\lt E(n)\\ \exp(-\frac{E(n+1)-E(n)}{T}),&E(n+1)\geq E(n) \end{array} \right.

当状态转移之后，如果能量减小了，那么这种转移就被接受了（以概率 1 发生）。如果能量增大了，就说明系统偏离全局最优位置（能量最低点，模拟退火算法所要寻找的就是密度最高能量最低的位置）更远了，此时算法不会立即将其抛弃，而是进行概率判断：首先在区间 [0,1][0,1] 产生一个均匀分布的随机数 ε\varepsilon（np.random.rand()），如果 ε<p\varepsilon

（p<script type="math/tex" id="MathJax-Element-497">p</script> 是前面定义的接受概率），这种转移也将被接受，否则拒绝转移，进入下一步，如此循环。

这正是 Metropolis 算法，其核心思想是当能量增加时以一定概率接收，而不是一味的拒绝；

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