问题描述：序列X={x1,x2,…,xn}，Y={y1,y2,…,yn}，当Z={z1,z2…,zn}是X的严格递增下标顺序（可以不连续）的子集，也是Y的严格递增下标顺序（可以不连续）的子集，则Z是X和Y的公共子序列。例如X={A,B,C,B,D,A,B}，Y={B,D,C,A,B,A}，{B,C,A}、{B,C,B,A}、{B,D,A,B}都是X和Y的公共子序列。其中最长的公共子序列叫做Longest common subsequence，即经典的LCS。

具体点：char[]xArray和char[] yArray是字符数组，长度分别为m、n，求他们的LCS

【分析】自顶向下分析，二维数组cTable[i][j]记录xArray[0~i],yArray[0~j]的最长公共子序列的长度，则cTable[m][n]记录xArray[0~m],yArray[0~n]的最长公共子序列的长度。

1）   如果xArray[m]=yArray[n]，表明最后一个元素xArray[m]是LCS中的元素，xArray[0~m],yArray[0~n]的最长公共子序列=xArray[0~m-1],yArray[0~n-1]的最长公共子序列+1，即cTable[m][n]=cTable[m-1][n-1]。

2）   如果xArray[m]!=yArray[n]，表明xArray[m]、yArray[n]都有可能是LCS中的元素，但不能同时是。如果xArray[m]可能是，则xArray[0~m],yArray[0~n]的最长公共子序列=xArray[0~m],yArray[0~n-1]的最长公共子序列；如果yArray[n]可能是，则xArray[0~m],yArray[0~n]的最长公共子序列=xArray[0~m-1],yArray[0~n]的最长公共子序列。即cTable[m][n]=max(cTable[m-1][n], cTable[m][n-1])。

状态递归方程为：

参考《算法导论》P394页伪代码，java实现如下：

/**  * 创建时间：2014年9月3日 下午9:00:13  * 项目名称：Test  * @author Cao Yanfeng  Peking University* @since JDK 1.6.0_21  * 类说明：  最长公共子序列问题（Longest common subsequence,LCS）*/public static void main(String[] args) {// TODO 自动生成的方法存根String x="ABCBDABCBACABC";String y="BDCABACABABCB";int temp=getLCSLength(x, y);System.out.println("\n长度为："+temp);}public static int getLCSLength(String x,String y) {char[] xArray=x.toCharArray();char[] yArray=y.toCharArray();int m=xArray.length;int n=yArray.length;int [][] bTable=new int[m][n];/*cTable[i][j]记录xArray[0~i],yArray[0~j]的最长公共子序列的长度*/int [][] cTable=new int[m+1][n+1];for (int i = 0; i <m; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if (xArray[i]==yArray[j]) {cTable[i+1][j+1]=cTable[i][j]+1;bTable[i][j]=2;//相等标记为2}else if (cTable[i][j+1]>=cTable[i+1][j]) {cTable[i+1][j+1]=cTable[i][j+1];bTable[i][j]=1;}else {cTable[i+1][j+1]=cTable[i+1][j];bTable[i][j]=3;}}}System.out.print("最大子数组为：");printLCS(xArray, bTable, m-1,n-1);return cTable[m][n];}/*输出最佳路径即最长公共子序列*/public static void printLCS (char[] xArray,int[][] bTable,int i,int j) {if (i==-1||j==-1) {return;}if (bTable[i][j]==2) {printLCS(xArray, bTable, i-1, j-1);System.out.print(xArray[i]);}else if (bTable[i][j]==1) {printLCS(xArray, bTable, i-1, j);}else {printLCS(xArray, bTable, i, j-1);}}}

*****************************************

控制台输出：

最大子数组为：BCBACBACB

长度为：9