和最大的连续子数组 Maximum Subarray
为什么80%的码农都做不了架构师?>>>
问题:
Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.
For example, given the array [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
,
the contiguous subarray [4,-1,2,1]
has the largest sum = 6
.
More practice:
If you have figured out the O(n) solution, try coding another solution using the divide and conquer approach, which is more subtle.
解决:
①使用时间复杂度为O(n)的方法解决(耗时16ms),属于一种DP问题:
最大连续子串问题,对于一个元素数为n的数组,其含有2^n个子序列和n(n+1)/2个子串。如果使用穷举法,则至少需要O(n^2)的时间才能得到答案。因此采用Jay Kadane 提出的线性时间的最优解法:
- 遍历该数组, 在遍历过程中, 将遍历到的元素依次累加起来, 当累加结果小于或等于0时, 从下一个元素开始,重新开始累加。
- 累加过程中, 要用一个变量(max)记录所获得过的最大值
- 一次遍历之后, 变量 max中存储的即为最大子片段的和值。
【注意】
- 最大子片段中不可能包含求和值为负的前缀。 例如 【-2, 1,4】 必然不能是最大子数列, 因为去掉值为负的前缀后【-2,1】, 可以得到一个更大的子数列 【4】、
- 所以在遍历过程中,每当累加结果成为一个非正值时, 就应当将下一个元素作为潜在最大子数列的起始元素, 重新开始累加。
- 由于在累加过程中, 出现过的最大值都会被记录, 且每一个可能成为 最大子数列起始元素 的位置, 都会导致新一轮的累加, 这样就保证了答案搜索过程的完备性和正确性。
- 子串是指数组中连续的若干个元素,而子序列只要求各元素的顺序与其在数组中一致,而没有连续的要求。
public class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int sum = 0;
int max = Integer.MIN_VALUE;//若令max的值为0,会导致数组元素所有的和都为0的时候返回错误
for (int i = 0;i < nums.length ;i ++ ) {
sum += nums[i];
if(max < sum){
max = sum;
}
if (sum <= 0) {
sum = 0;
}
}
return max;
}
}
public class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int sum = nums[0];
int max = nums[0];
for(int i = 1; i < nums.length; i++) {
sum = nums[i] + Math.max(sum, 0);
max = Math.max(sum, max);
}
return max;
}
} //13ms
②另外题目要求也可以采用分治法(递归)Divide and Conquer Approach解决该问题,时间复杂度为O(nlgn)。分治法的思想就类似于二分搜索法,我们需要把数组一分为二,分别找出左边和右边的最大子数组之和,然后还要从中间开始向左右分别扫描,求出的最大值分别和左右两边得出的最大值相比较取最大的那一个。耗时23ms,性能不是很好。
public class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
if (nums.length == 0) {
return 0;
}
return divide(nums,0,nums.length - 1);
}
public int divide(int[] nums,int left,int right){
if (left >= right) {//若未写=会提示数组下标越界
return nums[left];
}
int mid = (right - left) / 2 + left;
int lmax = divide(nums,left,mid - 1);
int rmax = divide(nums,mid + 1,right);
int mmax = nums[mid];//初始值为中间值
int sum = mmax;
for (int i = mid - 1;i >= left ;i -- ) {//扫描左半部分
sum += nums[i];
mmax = Math.max(mmax,sum);
}
sum = mmax;
for (int i = mid + 1;i <= right ;i ++ ) {//扫描右半部份
sum += nums[i];
mmax = Math.max(mmax,sum);
}
return Math.max(mmax,Math.max(lmax,rmax));
}
}
转载于:https://my.oschina.net/liyurong/blog/914913
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