Aladdin and the Flying Carpet (唯一分解定理)

kuangbin带你飞专题十四-C

题意:

给定一个面积为a的矩形，求有多少种整数的边的组合可以组成面积为a的矩形，且矩形的最短边长度大于等于b。注意，(x,y)和(y,x)属于同一种组合。(实际上就是求a的因子个数)

思路:

对于一个数求解他的因子个数的话,我们可以使用唯一分解定理.

唯一分解定理:

任何一个大于1的数都可以分解为有限个质数乘积的形式,即:N=(p^a1)(p^a2)....(p^ak),

而此定理又有一个推论:N的因子个数等于(a1+1)*(a2+1)*(a3+1)....*(ak+1).我们通过这两个公式即可求解.

首先对素数打表,方便筛因子,当我们得到因子个数后,要首先除2,因为(x,y)和(y,x)属于同一种组合

紧接着我们再遍历剔除小于b的个数即可. (注意:当筛选因子到最后时,要注意判断此时N是否大于1,如果大于1说明没被筛选完,还存在一个极大的素数,此时要乘2)

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int SIZE = 1e7;
int prime[SIZE];        //第i个素数,从1开始!
bool is_prime[SIZE];    //true表示i是素数
int ola(ll n){int cnt=0;memset(is_prime,true,sizeof(is_prime));is_prime[1]=false;for(ll i=2;i<=n;i++){if(is_prime[i]) prime[++cnt]=i;for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){is_prime[i*prime[j]]=false;if(i%prime[j]==0) break;}}return cnt;}
int main(){int t;scanf("%d",&t);ll cnt=ola(1000000);for(int k=1;k<=t;k++){ll ans=1,num=0;ll a,b;scanf("%lld %lld",&a,&b);if(b*b>a) {printf("Case %d: 0\n",k);continue;}ll case1=a;for(int i=1;i<=cnt&&prime[i]<=sqrt(case1);i++){ll cnt1=0;while(case1%prime[i]==0){cnt1++;case1/=prime[i];}ans*=(cnt1+1);}if(case1>1) ans*=2;ans/=2;ll sum=0;for(ll i=1;i<b;i++){if(a%i==0) sum++;}ans-=sum;printf("Case %d: %lld\n",k,ans);}return 0;}

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