【洛谷 P5244】 [USACO19FEB]Mowing Mischief P（分治 / 决策单调性优化DP）

传送门

首先求出lislislis
然后对于lisilis_ilisi按照值分层转移
显然每一层的点是从左上到右下这样单调的

对于相邻两层的转移
可以列出DPDPDP式子
fi=min⁡j,xj<xi,yj<yi(fj+(xi−xj)∗(yi−yj))f_i=\min_{j,x_j<x_i,y_j<y_i}(f_j+(x_i-x_j)*(y_i-y_j))fi=minj,xj<xi,yj<yi(fj+(xi−xj)∗(yi−yj))
冷静一下发现没法直接斜率优化

首先不考虑i→ji\rightarrow ji→j要满足xi<xj,yi<yjx_i<x_j,y_i<y_jxi<xj,yi<yj的限制
考虑如果i,j(i<j)i,j(i<j)i,j(i<j)转移到kkk
若jjj比iii优
有fj+(xk−xj)(yk−yj)<fi+(xk−xi)(yk−yi)f_j+(x_k-x_j)(y_k-y_j)<f_i+(x_k-x_i)(y_k-y_i)fj+(xk−xj)(yk−yj)<fi+(xk−xi)(yk−yi)
xk(yi−yj)+yk(xi−xj)≤(fi+xiyi)−(fj+xjyj)x_k(y_i-y_j)+y_k(x_i-x_j)\le(f_i+x_iy_i)-(f_j+x_jy_j)xk(yi−yj)+yk(xi−xj)≤(fi+xiyi)−(fj+xjyj)
由于i,ji,ji,j同一层是单调的，所以yi−yj,xi−xjy_i-y_j,x_i-x_jyi−yj,xi−xj一定一正一负
对于i,ji,ji,j看做常量的话就是对于k(xk,yk)k(x_k,y_k)k(xk,yk)就是一个斜率为正的直线的一侧
由于kkk也是单调的
所以转移具有决策单调性
不过注意如果按照xxx有序的话决策单调性是反的
即i,ji,ji,j越大，可以转移的kkk为越小的一段
于是分治优化即可

现在考虑x,yx,yx,y大小的限制
可以分治优化
由于每一层点单调
所以分治可以做到一个logloglog

复杂度O(nlog2n)O(nlog^2n)O(nlog2n)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define cs const
#define int long long
#define re register
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
#define ll long long
#define y1 shinkle
#define fi first
#define se second
#define bg begin
cs int RLEN=1<<20|1;
inline char gc(){static char ibuf[RLEN],*ib,*ob;(ib==ob)&&(ob=(ib=ibuf)+fread(ibuf,1,RLEN,stdin));return (ib==ob)?EOF:*ib++;
}
inline int read(){char ch=gc();int res=0;bool f=1;while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();return f?res:-res;
}
inline ll readll(){char ch=gc();ll res=0;bool f=1;while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();return f?res:-res;
}
inline int readstring(char *s){int top=0;char ch=gc();while(isspace(ch))ch=gc();while(!isspace(ch)&&ch!=EOF)s[++top]=ch,ch=gc();return top;
}
template<typename tp>inline void chemx(tp &a,tp b){a<b?a=b:0;}
template<typename tp>inline void chemn(tp &a,tp b){a>b?a=b:0;}
cs int N=200005,M=1000005;
int n,lm,ln;
namespace bit{int tr[M];#define lb(x) (x&(-x))inline void update(int p,int k){for(;p<=lm;p+=lb(p))chemx(tr[p],k);}inline int query(int p,int res=0){for(;p>0;p-=lb(p))chemx(res,tr[p]);return res;}
}
pii p[N];
inline ll dis(pii x,pii y){return abs((ll)(x.fi-y.fi)*(x.se-y.se));
}
int ls[N];
ll f[N];
vector<int> pt[N],z;
namespace Seg{vector<int> q[N<<2],tp;#define lc (u<<1)#define rc ((u<<1)|1)#define mid ((l+r)>>1)void update(int u,int l,int r,int k){// cout<<z[l]<<" "<<z[r]<<" "<<k<<" "<<p[k].se<<" "<<p[z[l]].se<<" "<<p[k].fi<<" "<<p[z[r]].fi<<'\n';if(p[k].se>=p[z[l]].se&&p[k].fi>=p[z[r]].fi){// cout<<l<<" "<<r<<" "<<k<<'\n';q[u].pb(k);return;}if(p[k].se<=p[z[r]].se||p[k].fi<=p[z[l]].fi)return;update(lc,l,mid,k),update(rc,mid+1,r,k);}void solve(int l,int r,int ql,int qr){ll res=1e18;int ps=0,id=tp[mid];for(int i=ql;i<=qr;i++){ll now=f[z[i]]+dis(p[z[i]],p[id]);if(now<res)res=now,ps=i;}chemn(f[id],res);if(l<mid)solve(l,mid-1,ps,qr);if(mid<r)solve(mid+1,r,ql,ps);}void query(int u,int l,int r){if(q[u].size()){tp=q[u];solve(0,q[u].size()-1,l,r);q[u].clear();}if(l==r)return;query(lc,l,mid),query(rc,mid+1,r);}#undef lc#undef rc#undef mid
}
inline void trans(cs vector<int> &pre,cs vector<int> &now){z=pre;int l=(int)pre.size()-1;for(int x:now){Seg::update(1,0,l,x);}Seg::query(1,0,l);
}
signed main(){#ifdef Stargazerfreopen("lx.in","r",stdin);#endifn=read(),lm=read();for(int i=1;i<=n;i++)p[i].fi=read(),p[i].se=read();sort(p+1,p+n+1);for(int i=1;i<=n;i++){ls[i]=bit::query(p[i].se)+1;chemx(ln,ls[i]);bit::update(p[i].se,ls[i]);pt[ls[i]].pb(i);// cout<<i<<" "<<ls[i]<<'\n';}memset(f,127/3,sizeof(f));for(int &i:pt[1])f[i]=dis(p[i],pii(0,0));//,cout<<i<<" "<<f[i]<<'\n';for(int i=2;i<=ln;i++)trans(pt[i-1],pt[i]);ll res=1e18;for(int &i:pt[ln])chemn(res,f[i]+dis(p[i],pii(lm,lm)));cout<<res<<'\n';
}

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