毕达哥拉斯的数字和定理 -逻辑与算法之四

毕达哥拉斯的数字和定理逻辑与算法之四

约公元前六世纪，相当于古代中国的先秦时期，希腊早期哲学家泰勒斯在希腊创立爱奥尼亚学派。后来，在这个学派基础上产生一个宗教、政治、学术于一体的团体，这个团体，就是我们今天要讨论的古代数学团体：一个以毕达哥拉斯为领袖的毕达哥拉斯学派（约公元前560年-前480年）。

照片1毕达哥拉斯

美索不达米亚的泥板数字，对应于具体的自然物体。如同一本幼儿数学教本中所举的例子，初等算术就是把自然数和自然物体相对应。

照片2数一数有多少

但毕达哥拉斯学派遇到的数学问题，仅凭对应自然物体的计算来解决，那一点门都没有。因为这个专注学问本身，不太求即时应用的学派，他们所研究的数学，常常不是对应于自然物体，而是超越于自然物体的对象，例如一张平面图纸上画出的“三角形”。或者，一组纯粹的数字，例如自然数的奇数和偶数。毕达哥拉斯学派这种几乎可以看作是脱离实际应用的数学研究，自然因漂浮于世俗之外，而带有神秘、玄妙与怪诞的特性。其神秘如同丹奇克在描述这些数字时，引用的一段毕达哥拉斯祈祷文：

“创造诸神和人类的神圣的数啊！愿你赐福我们！啊！圣洁的四啊！您孕育着永流不息的创造源泉！因为您起源于纯洁而深奥的一，渐次达到圣洁的四；然后生出圣洁的十，它为天下之母，无所不包，无所不属，首出命世，永不偏倚，永不倦怠，成为万物之锁钥。”（《数科学的语言》第33-34页）

照片3数科学的语言

数创造了一切，毕达哥拉斯学派是用数字的至高无上，取代了数只是对应于自然物体的远古数字观。这样，数字本身就成了毕达哥拉斯学派膜拜的神，纯粹的几何图形也如同数字一样神圣，因为这些图形是用神圣的数字来解释的。

这似乎是人类有关知识的一个重要转折点，这个对于符号数字的神秘膜拜，让人类有关数字的知识，从纯粹的世俗应用变成了一种认知上的趣味，智慧上的考量和信仰上的虔诚。对数字符号本身的这种超现实理解，产生了也许是历史上的第一个推理，或者称证明过程。这个推导出的命题，就是以毕达哥拉斯命名的毕达哥拉斯定理，一般称勾股定理。据称，中国古代数学家商高也发现了这个定理，因此也称商高定理。

照片3 毕达哥拉斯定理证明示意图

用现代的语言表述毕达哥拉斯定理，实际上是有关全部这类三角形的一个推理。这个定理可以表述为：

任意直角三角形，其斜边的平方等于其另两个直角边平方之和。

这就是著名的毕达哥拉斯定理公式：a，b为直角边，c为斜边。

a2+b2=c2

我们在远古泥板上遇到的数学问题，总是具体到自然物体的计算上，使用最初等的算术就足够，如同远古泥板上提到的过的谷仓问题。

“数学活动最古老的痕迹之一是在美索不达米亚发现的一块泥板，它可以追溯到公元前2500年，这块泥板记录这样一个计算：如果一个谷仓里有1152000份粮食，每个人分得7份，一共可以分给多少人呢？”（《计算进化史》第2页）

这样的泥板问题，依靠除法就可以解决。你大概从文字描述和数字计算上看不到还能有什么其它的意蕴。

但证明这个毕达哥拉斯定理的推理过程，却至少可以引申出，以下一些有关纯粹数学的思考结论和思考疑问。

首先，这个推导依据的，不是一个具体的直角三角形。任意三角形的平面画图绝不会对应于某个具体的自然物体，不会是某块土地的形状，也不会是某个建筑的形状，或者其它任何自然物体的形状。它仅仅只是人类知性的一个抽象，或者说是，来自心智的数字概念变体。古代数学大概从这一刻，应用性的经验习得，开始走向知识的纯粹，我们似乎从这里看到纯粹数学的某种萌芽。

进一步可以看到，任意三角形意蕴深远，实际上这样的三角形数目是无限的。在给出这个定理的推导时，无穷或者无限的概念悄悄地潜入了古代数学。

接着，你从无穷对象潜在地隐含其中，可以感受到，数学对象与自然物体之间自然地出现分离。原来，人类所面对的客体，除了自然对象，还有人类心智所面对的符号对象。这些符号对象，也可以作为独立的整体，作为这个世界的另一种客体为心智所研究。

然后，这个推理所涉及到的抽象对象，用“任意”来限定，这实际上也在显示量词词项“所有”的出现。符号对象除了数字，还有限定任意数学对象的量词，这大概为其后亚里士多德古典逻辑，包括全称和特称量词的三段论理论的产生，准备了条件。

最后，毕达哥拉斯定理的推导，究竟依据的什么？它有什么已知的前提，又有什么假设的前提，人们何以能够依据这些前提一步一步地导出结论？

还有许多，许多﹍﹍。

许多﹍﹍。

所有这些思考结论和疑问，仿佛是在导引出和一般计算不同的另一门数学或者逻辑。

果然，在毕达哥拉斯数百年之后，亚里士多德的三段论逻辑与欧几里得《几何原本》所体现的两大演绎体系，为灿烂的古希腊文化增添了新的光彩。

人类的计算还在延续，但数学却因为对于纯粹数字的思考，跨入了一个新境界。人类有关推理的思考则在希腊诞生了一门新学科，亚里士多德的古典逻辑，一门起初看起来和数学几无关联的学科。2019/10/19

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