1. 基本原理

一个二维平面中的棋盘点 $m$ 和一个三维空间内的棋盘点 $M$ 可以表示如下：

它们对应的齐次坐标 $\hat{m}$ 和 $\hat{M}$ 可以表示如下：

如果 $m$ 和 $M$ 是同一个点，那么他们的转换关系可以写为：

其中 $A=\begin{bmatrix} \alpha & \gamma & u_0\\ 0 & \beta & v_0\\ 0 &0 & 1 \end{bmatrix}$ ， $s$ 是任意的比例因子， $[R\ t]$ 是外参矩阵， $R$ 是旋转矩阵， $t$ 是平移矩阵， $A$ 是相机内参矩阵， $(u_0,v_0)$ 是坐标的主点， $\alpha$ 和 $\beta$ 分别是图像在 $u$ 和 $v$ 轴的比例因子， $\gamma$ 是描述两个坐标轴倾斜角的参数。

进一步地，假定棋盘点所在平面在世界坐标系中的 $Z$ 坐标为0，且 $X, Y$ 轴与棋盘格的方向重合，原点为检测到棋盘格点的首点，如图 1 所示，其中原点为黄色矩形标记点。

图 1 示意图

那么可以得到如下式子：

则点 $M$ 和它在棋盘上的映射点 $m$ 的关系可以用单应矩阵 $H$ 表示如下：

这里 $H=A[r_1,r_2,t]$ ， $\hat{M}=[X, Y, 1]^T$ 。显然 $H$ 是一个 3*3 的矩阵，自由度是 8。需要 8 个方程即 4 组对应点，但是通常情况下，为了得到更准确的解，需要大于 4 对的对应点，方程组就会变成超定的，此时可以使用最小二乘法进行优化得到最后的解 $H$ 。

2. 实验过程和步骤

原始Camera Calibration工具箱链接如下。由于其最近更新为2003年，版本较新的matlab运行这个工具箱的代码会出现很多错误。因此，本文只采用它提供的20张棋盘图，利用matlabR2021a内置的工具箱完成实验。

Camera Calibration Toolbox for Matlab (stanford.edu)http://robots.stanford.edu/cs223b04/JeanYvesCalib/htmls/example.html通过下面的链接下载用于标定 20 张的棋盘图，如图 2 所示

http://robots.stanford.edu/cs223b04/JeanYvesCalib/htmls/calib_example.ziphttp://robots.stanford.edu/cs223b04/JeanYvesCalib/htmls/calib_example.zip

图2 20张棋盘图

打开matlabR2021a自带的App “Camera Calibrator”

图3 Camera Calibrator位置示意图

导入下载的20张图片后点击Calibrate即可完成标定。

图4 运行示意图

3. 实验结果

从图7中可以看出第5、18、19、20张图的平均误差较大，其中第5张图的平均误差最大。观察误差较大的4张图与其他16张图的不同点，猜测可能是因为棋盘偏离标准位置所导致的，这里的标准位置我认为是棋盘平面与相机方向正交或平行。

图5 以摄像头为参考系

图6 以平面为参考系

图7 像素平均误差

4. 总结

算法优点：张正友标定方法相比于经典方法显得十分灵活和简便，只需要摄像机从不同方向观测标定板即可。

局限性：摄像机拍照时通过透镜把实物投影到像平面上，但是由于透镜的精度及其他问题，得到的图像会出现失真的情况。因此我们需要考虑成像畸变的问题。透镜的畸变主要分为径向畸变和切向畸变，还有薄透镜畸变等等，但都没有径向和切向畸变影响显著。张正友标定方法只关注了影响最大的径向畸变，忽略了切向畸变，所以标定数据和实际仍存在轻微误差。

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Matlab工具箱实现张正友相机标定

1. 基本原理

2. 实验过程和步骤

3. 实验结果

4. 总结

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