高等代数多项式环(第7章)5* 结式与域

一.结式

1.概念:

2.结式与公共复根
(1)多项式存在公共复根的判定:

定理1:设f(x)=a0xn+a1xn−1+...+ang(x)=b0xm+b1xm−1+...+bmf(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_n\\g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+...+b_mf(x)=a0xn+a1xn−1+...+ang(x)=b0xm+b1xm−1+...+bm是K[x]K[x]K[x]中2个多项式,其中n,m>0n,m>0n,m>0,则f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)的结式Res(f,g)=0Res(f,g)=0Res(f,g)=0的充要条件是a0=b0=0a_0=b_0=0a0=b0=0或f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)有公共复根

(2)求多项式的公共复根:

(3)通过多项式的复根求结式:

定理2:设f(x)=a0xn+a1xn−1+...+an(a0≠0)g(x)=b0xm+b1xm−1+...+bm(b0≠0)f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_n\,(a_0≠0)\\g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+...+b_m\,(b_0≠0)f(x)=a0xn+a1xn−1+...+an(a0=0)g(x)=b0xm+b1xm−1+...+bm(b0=0)再设f(x)f(x)f(x)的复根为c1,c2...cn,g(x)c_1,c_2...c_n,g(x)c1,c2...cn,g(x)的复根为d1,d2...dmd_1,d_2...d_md1,d2...dm,则Res(f,g)=a0m∏i=1ng(ci)=(−1)mnb0n∏j=1mf(dj)Res(f,g)=a_0^m\displaystyle\prod_{i=1}^ng(c_i)=(-1)^{mn}b_0^n\displaystyle\prod_{j=1}^mf(d_j)Res(f,g)=a0mi=1∏ng(ci)=(−1)mnb0nj=1∏mf(dj)

3.结式与判别式:

定理3:设f(x)f(x)f(x)是数域KKK上nnn次多项式,首项系数为a0a_0a0,则D(f)=(−1)n(n−1)2a0−1Res(f,f′)D(f)=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_0^{-1}Res(f,f')D(f)=(−1)2n(n−1)a0−1Res(f,f′)

二.域与域上的一元多项式环
1.分式域
(1)分式:

(2)域与分式域:

命题1:域FFF中没有非平凡的零因子,从而域一定是整环

(3)分式的基本性质:

(4)分式的次数:

(5)既约分式:

2.模ppp剩余类域与模mmm剩余类环
(1)同余关系:

命题2:若a≡b(mod7),c≡d(mod7)a\equiv b(mod\,7),c\equiv d(mod\,7)a≡b(mod7),c≡d(mod7),则a+c≡b+d(mod7),ac≡bd(mod7)(16)a+c\equiv b+d(mod\,7),ac\equiv bd(mod\,7)\qquad(16)a+c≡b+d(mod7),ac≡bd(mod7)(16)

命题2’:若a≡b(modm),c≡d(modm)a\equiv b(mod\,m),c\equiv d(mod\,m)a≡b(modm),c≡d(modm),则a+c≡b+d(modm),ac≡bd(modm)(21)a+c\equiv b+d(mod\,m),ac\equiv bd(mod\,m)\qquad(21)a+c≡b+d(modm),ac≡bd(modm)(21)

(2)剩余类:

(3)剩余类环与剩余类域:

定理4:若ppp是素数,则ZpZ_pZp是1个域

3.域的特征
(1)域的特征的概念:

定理5:设FFF是1个域,其单位元为eee,则或者对∀n∈N+∀n∈N_+∀n∈N+都有ne≠0ne≠0ne=0,或者存在1个素数ppp,使得pe=0pe=0pe=0,从而对∀l∀l∀l满足0<l<p0<l<p0<l<p都有le≠0le≠0le=0

(2)域的特征的性质:

命题3:设域FFF的特征为素数ppp,则ne=0⇔p∣nne=0⇔p\,|\,nne=0⇔p∣n

命题4:设域FFF的特征为素数ppp,任取a∈F∗(F∗a∈F^*(F^*a∈F∗(F∗表示FFF中所有非零元组成的集合),则na=0⇔p∣nna=0⇔p\,|\,nna=0⇔p∣n

4.域FFF上的一元多项式环
(1)概念:

注:目前为止,仅有该定理需要用到"域含有无穷多个元素"

(2)有理数域上整系数多项式不可约的判定:

命题5:设f(x)=anxn+...+a1x+a0f(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0f(x)=anxn+...+a1x+a0是1个整系数多项式,ppp是1个素数,p∤a0p\not|\,a_0p∣a0;把f(x)f(x)f(x)的各项系数模ppp变成ZpZ_pZp的元素,得到ZpZ_pZp上的1个多项式,记作f~(x)\tilde{f}(x)f~(x),即f~(x)=anˉxn+an−1ˉxn−1+...+a1ˉx+a0ˉ(29)\tilde{f}(x)=\bar{a_n}x^n+\bar{a_{n-1}}x^{n-1}+...+\bar{a_1}x+\bar{a_0}\qquad(29)f~(x)=anˉxn+an−1ˉxn−1+...+a1ˉx+a0ˉ(29)如果f~(x)\tilde{f}(x)f~(x)在ZpZ_pZp上不可约,那么f(x)f(x)f(x)在QQQ上不可约

5.中国剩余定理:

中国剩余定理:设m1,m2...msm_1,m_2...m_sm1,m2...ms是两两互素的正整数,b1,b2...bsb_1,b_2...b_sb1,b2...bs是任意给定的sss个整数,则同余方程组{x≡b1(modm1)x≡b2(modm2)...x≡bs(modms)(32)\begin{cases}x\equiv b_1(mod\,m_1)\\x\equiv b_2(mod\,m_2)\\\qquad\quad...\\x\equiv b_s(mod\,m_s)\end{cases}\qquad(32)⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x≡b1(modm1)x≡b2(modm2)...x≡bs(modms)(32)在ZZZ中必有解,并且如果c,dc,dc,d是2个解,那么c≡d(modm1m2...ms)(33)c\equiv d(mod\,m_1m_2...m_s)\qquad(33)c≡d(modm1m2...ms)(33)

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